第十四讲 函数及其表示方法-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十四讲 函数及其表示方法 【学习目标】 1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素。 2．会求一些简单函数的定义域。 3．掌握同一个函数的概念，并会判断。 4．会求简单函数的函数值和值域。 5．了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数。 6．掌握求函数解析式的常用方法。 7．会作函数的图像并从图像上获取有用信息。 8．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值。 9．能画出分段函数的图像，并会应用解决问题。 【基础知识】 一、函数的概念 1．函数的概念：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域和值域：函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域． 3．对函数概念的理解： (1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数． (2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英文字母如g，h表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧要，如f(x)＝2x＋1，x∈R与y＝2s＋1，s∈R是同一个函数． 4．同一个函数：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 二、函数的表示法 1．函数的图像 (1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． (2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足下列两条 ①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)； ②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上． 2．描点法作函数图象的三个步骤： (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 3．函数的表示方式： (1)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图像法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 三、分段函数 1．分段函数的定义：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 2．分段函数的定义域、值域： (1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． (3)求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集． 3．分段函数的图像： 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像． 4．分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 5．常数函数：值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数． 【考点剖析】 考点一：函数的概念 例1 (1)如图可作为函数y＝f(x)的图像的是(　　) (2)下列三个说法： ①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素； ②若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立； ③函数就是两个集合之间的对应关系． 其中正确说法的个数为(　　) A．0