第十三讲 均值不等式及其应用-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十三讲 均值不等式及其应用 【学习目标】 1．理解算术平均值与几何平均值的概念。 2．掌握均值不等式及其推理过程。 3．能够运用均值不等式求函数或代数式的最值。 4．会利用均值不等式证明不等式问题。 5．会利用均值不等式解决与函数y＝ax＋有关的实际问题。 6．会将不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为均值不等式问题求解。 【基础知识】 一、算数平均数与几何平均数 给定两个正数a，b，数 称为a，b的几何平均值．称为a，b的算术平均值；数 二、均值不等式 1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．≥ 2．均值不等式的常见变形 ①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2； ②若a＞0，b＞0，则ab≤2． 3．均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 4．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤(a，b∈R)；2≤ (2) (a，b均为正实数)；≤ ≤≤ (3)≥2(a，b同号)；＋ (4)(a＋b)≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 【考点剖析】 考点一：对均值不等式的理解 例1 下列结论正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，≥2＋ C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，x－无最大值 【解析】　对于选项A，当x<0时，．＝在0<x≤2的范围内单调递增，有最大值2－，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝ 【答案】　B 考点二：用均值不等式证明不等式 例2 (1)已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3； (2)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9． 【证明】　 (1)∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2eq \r(xy)>0， x2＋y2≥2eq \r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq \r(x3y3)>0． ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2eq \r(xy)·2eq \r(x2y2)·2eq \r(x3y3)＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． (2)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立． 考点三：利用均值不等式求最值 例3 (1)若x＜0，求eq \f(12,x)＋3x的最大值； (2)若x＞2，求eq \f(1,x－2)＋x的最小值； (3)已知0＜x＜eq \f(1,2)，求eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值． 【解析】　(1)因为x＜0， 所以eq \f(12,x)＋3x＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,x)))＋(－3x))) ≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,x)))·－3x)＝－12， 当且仅当－eq \f(12,x)＝－3x，即x＝－2时等号成立， 所以eq \f(12,x)＋3x的最大值为－12． (2)因为x＞2，所以x－2＞0，eq \f(1,x－2)＋x＝eq \f(1,x－2)＋x－2＋2≥2eq \r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立，所以eq \f(1,x－2)＋x的最小值为4． (3)因为0＜x＜eq \f(1,2)，所以1－2x＞0，eq \f(1,2)x(1－2x)＝eq \f(1,4)·2x(1－2x)≤eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,