第十六讲 函数的奇偶性-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十六讲 函数的奇偶性 【学习目标】 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。 2．了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系。 3．会利用函数的奇偶性解决简单问题。 4．会利用函数的奇偶性求函数的解析式。 5．能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题。 【基础知识】 一、函数的奇偶性 1．偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数． 2．奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． 3．奇、偶函数的特点 (1)奇、偶函数定义域的特点： 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点： ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x) ⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点 ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 二、函数的奇偶性的应用 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0. (2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致． (3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【考点剖析】 考点一：函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝； ＋ (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 【解析】　(1)因为x∈R，所以－x∈R， 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]． 即有－1≤x≤1且x≠0， 则－1≤－x≤1，且－x≠0， 又因为f(－x)＝ ＝－＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 【答案】 (1) 奇函数 (2) 偶函数 (3) 奇函数 (4) 偶函数 考点二：奇、偶函数的图像 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图像； (2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图像写出使f(x)＜0的x的取值集合． 【解析】　(1)由题意作出函数图像如图： (2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)． 【答案】 (1) 见解析 (2) (－1,0)，(1，＋∞) (3) (－2,0)∪(0,2) 考点三：利用函数的奇偶性求解析式 例3　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 【解析】　当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.)) 【答案】 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<