第十二讲 一元二次不等式的解法-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第十二讲 一元二次不等式的解法 【学习目标】 1．掌握一元二次不等式的解法． 2．会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解 3．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题． 【基础知识】 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 二、一元二次不等式的解法 1．用因式分解法解一元二次不等式： 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 2．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 三、一元二次不等式的解集 1．一元二次不等式的解与解集的定义： 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式的解集： 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 四、一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的方法与步骤 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (ⅰ)化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； (ⅲ)由图象得出不等式的解集． ②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0． ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2． 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 五、分式不等式的解法 类型 同解不等式 ＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 方法一：或 方法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 方法一：或 方法二： (其中k为非零实数)＞k 先移项通分转化为上述两种形式 【考点剖析】 考点一：因式分解法解一元二次不等式 例1 用因式分解法解下列不等式： (1)6x2＋5x＋1>0； (2)6x2＋11x－7<0； (3)－42x2＋33x－6≥0． 【解析】　(1)由6x2＋5x＋1>0，得(2x＋1)(3x＋1)>0， ∴x>－eq \f(1,3)或x<－eq \f(1,2)， ∴不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))． (2)由6x2＋11x－7<0，得(2x－1)(3x＋7)<0， ∴－eq \f(7,3)<x<eq \f(1,2)， ∴不等式的解集为eq \b\lc