第三讲 集合的基本运算-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第三讲 集合的基本运算 【学习目标】 1．理解交集的概念，会用符号、维恩图表示交集，并会求简单集合的交集。 2．掌握交集与并集的相关性质，并会应用。 3．理解并集的概念，会用符号、维恩图表示并集，并会求简单集合的并集。 4．了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集。 5．会求解集合的交、并、补的集合问题。 6．能正确利用补集的意义求解一些具体问题。 【基础知识】 一、交集 1．概念：一般地，给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集。 2．符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”) 3．图形表示： 4．注意事项： (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”； (3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅． 二、并集 1．概念：一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集。 2．符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”) 3．图形表示： 4．注意事项： (1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成的，而非部分元素组成． 5．并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝A A∩∅＝∅ A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A 三、全集 1．概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． 2．记法：全集通常记作U． 3．全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素． 四、补集 1．概念：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA。 2．符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 3．图形表示： 4．注意事项： (1)∁UA表示一个集合． (2)A是U的子集，即A⊆U． (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A ⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 6．补集的性质 (1)∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U． (2)A∪(∁UA)＝U． (3)A∩(∁UA)＝∅． (4)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A． (5)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (6)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 【考点剖析】 考点一：交集的运算 例1 (1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0,1}　　　　　　 B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2} (2)已知A＝(5，＋∞)，B＝(1,7]，则A∩B＝________． 【解析】　(1)∵A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}， ∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}． (2)在数轴上标出A，B，如图所示． 所以A∩B＝(5,7]． 【答案】　(1)A　(2)(5,7] 考点二：并集的运算 例2 (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，3，4}　　　　　　　 B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} (2)已知区间P＝(－1，1)，Q＝(0，2)，那么P∪Q＝(　　) A．(－1，2) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，2) (3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　(1)由题意A∪B＝{1，2，3，4}． (2)因为P＝(－1，1)， Q＝(0，2)，画数轴如图所示， 所以P∪Q＝(－1，2)． (3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合， 所以A∪B中的元素不可能在第一象限． 【答案】　(1)A　(2)A　(3)A 考点三：交集、并集中的参数问题 例3