第七讲 等式的性质与方程的解集-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第七讲 等式的性质与方程的解集 【学习目标】 1．掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式。 2．会利用等式的性质解一元一次方程。 3．会用因式分解法解一元二次方程。 【基础知识】 一、等式的性质 1．性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c． 2．性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)． 二、恒等式 1．一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一． 2．一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab． 3．用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 三、方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 【考点剖析】 考点一：等式性质的应用 例1 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④．其中正确的有(　　) ＝；⑥＝＝1；⑤ A．①②③　　　　　　 B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ 【解析】 ①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤正确，故选C．＝ 【答案】 C 考点二：恒等式的化简 例2 化简： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]． 【解析】　(1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13． (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2． (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n． (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2． 【答案】 (1)13 (2) －x2y＋xy2 (3) m－n (4) －2a2b＋3ab2 考点三：x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 例3 分解因式： (1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12． 【解析】　(1)如图所示，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)． (2)如图所示，得 所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． 【答案】 (1) (x－1)(x－2) (2) (x－2)(x＋6) 考点四：ax2＋bx＋c型式子的因式分解 例4 分解因式： (1)6x2＋5x＋1； (2)6x2＋11x－7； (3)42x2－33x＋6； (4)2x4－5x2＋3． 【解析】　(1)如图所示，所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)·(3x＋1)． (2)如图所示，所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)． (3)如图所示，所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)． (4)如图所示，所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(6),2)))． 【答案】 (1) (2x＋1)·(3x＋1) (2) (2x－1)(3x＋7) (3) (6x－3)(7x－2) (4) 2(x＋1)(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(6),2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(6),2))) 考点五：x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解 例5 把下列各式因式分解： (1)a2－2ab－8b2； (2)x＋5－6y(x>0，y>0)； (3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2； (4)m4＋m2n2－6n4． 【解析】　(1)(a＋2b)(