第六讲 充分条件、必要条件-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第六讲 充分条件、必要条件 【学习目标】 1．理解充分条件、必要条件的定义。 2．会判断充分条件、必要条件。 3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围。 4．理解充要条件的概念。 5．能够判定条件的充分、必要、充要性。 6．会进行简单的充要条件的证明。 【基础知识】 一、充分条件与必要条件 1．充分必要条件的定义：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 2．对于充分条件与必要条件的理解：对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释 (1)“如果p，那么q”形式的命题为真命题． (2)由条件p可以得到结论q. (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p. (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的． (5)q是p的必要条件或p的必要条件是q. (6)为得到结论q，具备条件p就可以推出． 二、充要条件 1．充要条件：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2．充分不必要条件：若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． 3．必要不充分条件：若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． 4．既不充分也不必要条件：若pp，则称p是q的既不充分也不必要条件．q，且q 5．对充要条件的理解： (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 6．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A⊆B且B⊈A，即A(B，则p是q的充分不必要条件． (5)若B⊆A且A⊈B，即B(A，则p是q的必要不充分条件． (6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件． 7．“⇔”的传递性：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【考点剖析】 考点一：充分条件与必要条件的判定 例1 (1)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的________条件．(填“充分”“必要”) (2)判断下列说法中，p不是q的充分条件的是________． ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②设a，b是实数，p：“a＋b＞0”，q：“ab＞0”； ③p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【解析】　(1)设p：两个三角形面积相等；q：两个三角形全等，则pq，q⇒p.∴p是q的必要条件． (2)对①，当x＝1时，显然有x2－2x＋1＝0，故p⇒q，即p是q的充分条件； 对②，当a＝5，b＝－1时，有a＋b＞0，但ab＜0，故pq，p不是q的充分条件； ③∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形， ∴p不是q的充分条件． 【答案】　(1)必要　(2)②③ 考点二：充分、必要、充要条件的判断 例2 下列各命题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0. (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 【解析】　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．，x－1＝ (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp. 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0. 故pq，但q⇒p. 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为四边形的对角线相等，))四边形是平行四边形，,四边形是平行四边形 所以p是q的既不充分也不必要条件． 【答案】 见解析 考点三：充要条件的证明 例3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 【证明】　①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3