第九讲 方程组的解集-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第九讲 方程组的解集 【学习目标】 1．理解方程组的解集的定义及表示方法。 2．会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。 3．会选用合适的消元法求解三元一次方程组。 【基础知识】 方程组的解集 1．方程组的解集：一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法． 3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数． 【考点剖析】 考点一：二元一次方程组的解法 例1 选择合适的方法解下列方程组： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝3，　　　　　　　　　　　　　　　 ①,3x＋4y＝10； ②)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，　　　　　　　　　　　　　 　　①,3x－4y＝4. ②)) 【解析】　(1)由①，得y＝2x－3，③ 把③代入②，得3x＋4(2x－3)＝10，解得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝1. 所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.)) 即方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}． (2)①×2，得2x＋4y＝6，③ ③＋②，得5x＝10，解得x＝2. 把x＝2代入①，得2＋2y＝3，解得y＝eq \f(1,2). 所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(1,2).)) 即方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((x，y)|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))))). 【答案】 (1) {(x，y)|(2,1)} (2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1((x，y)|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))))) 考点二：二元二次方程组的解法 例2 解方程组 【解法】　方法一：由②得x＝2y＋5，　③ 将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4. 整理，得3y2＋10y＋7＝0. 解得y1＝－，y2＝－1. 把y1＝－，代入③，得x1＝ 把y2＝－1代入③，得x2＝3. 所以原方程组的解是 所以方程组的解集为. 方法二：由①得(x＋y)2＝4， 即x＋y＝2或x＋y＝－2. 原方程组转化为或 解得 所以方程组的解集为. 【答案】 考点三：三元一次方程组的解法 例3 求下列方程组的解集． (1) (2) 【解析】　(1)方法一：将③分别代入①②，得 解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． 方法二：②－①，得y＋4z＝10，④ ②－③，得6y＋5z＝22，⑤ 联立④⑤，得解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． 方法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④ ④－②，得4x＋3y＝38，⑤ 联立③⑤，得解得 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x＋8z＝11，④ ①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤ 联立④⑤，得解得 把x＝3，z＝1代入①，得y＝2. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,2,1)}． 【答案】 (1) {(x，y，z)|(8,2,2)} (2) {(x，y，z)|(3,2,1)} 考点四：二元二次方程组的解法 例4 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2xy＋y2＝4，　①,x－2y＝5. ②)) 【解析】　方法一：由②得x＝2y＋5，③ 将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4. 整理，得3y2＋10y＋7＝0. 解得y1＝－eq \f(7,3)，y2＝－1. 把y1＝－eq \f(7,3)代入③，得x1＝eq \f(1,3)， 把y2＝－1代入③，得x2＝3. ∴原方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(1,3)，,y1＝－\f(7,3)，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝3，