第2章 2.1.3 方程组的解集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦方程组的解集核心知识点，系统梳理一次方程组（二元、三元）的代入与加减消元法，二元二次方程组的代入消元与降次转化，以及实际问题中的建模应用。从古代百鸡问题引入概念，通过问题链构建“概念-解法-应用”的学习支架。 该资料以数学眼光挖掘古代问题价值，用消元、降次策略培养数学思维，结合商场促销等实例强化数学语言表达。课中例题解析与反思助教师高效授课，课后分层练习帮学生查漏补缺，提升运算与建模能力。

2.1.3　方程组的解集 学习目标　1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题. 导语 我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，且x，y，z为自然数，则当z=81时，我们如何求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题. 一、一次方程组的解集 问题1　如果有一方程组为 那么适合方程①吗？适合方程②吗？ 提示　均适合，并且{(x，y)|x=8，y=11}为两方程解集的交集. 问题2　如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？ 提示　可以通过消元法求解.三元一次方程组也可以通过消元法求解. 知识梳理 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 注意点： (1)消元法包括加减消元法和代入消元法. (2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”. (3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 例1　求下列方程组的解集： (1)　　(2) 解　(1)已知 由①得x=2y+1，③ 把③代入②，得2y+1+3y=6， 解得y=1.把y=1代入③得x=3， 所以原方程组的解为 所以原方程组的解集为{(3，1)}. (2)已知方程组 ①+②，得5x-z=14. ①+③，得4x+3z=15. 解方程组得 把x=3，z=1代入③，得y=8. 所以原方程组的解集为{(3，8，1)}. 反思感悟　(1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法. (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数. 跟踪训练1　求方程组的解集. 解　已知方程组 ①-②×2，得5y-3z=8，④ ③-②，得3y-3z=6，⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得 把y=1，z=-1代入②，得x=2， 所以原方程组的解集为{(2，1，-1)}. 二、二元二次方程组的解集 角度1　“二·一”型的二元二次方程组 例2　(课本例1)求方程组的解集. 解　将②代入①，整理得x2+x-2=0， 解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1. 所以原方程组的解集为{(1，2)，(-2，-1)}. 例2　解方程组 解　已知方程组 方法一　由②得x=2y+5，③ 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 整理，得3y2+10y+7=0.解得y1=-y2=-1. 把y1=-代入③，得x1= 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是或 所以原方程组的解集为. 方法二　由①得(x+y)2=4， 即x+y=2或x+y=-2. 原方程组转化为或 解得或 所以原方程组的解集为. 反思感悟　这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”.如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解. 跟踪训练2　解方程组 解　已知 由方程②，得y=1-x，③ 把方程③代入方程①，得x2+(1-x)2=1. 整理，得x2-x=0.解得x1=0，x2=1. 把x1=0代入方程③，得y1=1； 把x2=1代入方程③，得y2=0. 原方程组的解是或 即其解集为{(0，1)，(1，0)}. 角度2　“二·二”型的二元二次方程组 例3　(课本例2)求方程组的解集. 解　由①-②，整理得x+2y-3=0.③ 由③解得x=3-2y.代入①，并整理，得 5y2-12y+7=0，解得y=1或y=. 利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x=. 因此，原方程组的解集为. 例3　求方程组的解集. 解　　已知方程组 由①得x2-y2-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y)-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y-5)=0， ∴x+y=0或x-y-5=0， ∴ 原方程组可化为两个方程组 或 解这两个方程组， 得原方程组的解集是{(-1，-6)，(6，1)，(-)，(-)}. 反思感悟　解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”. (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组. (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组. 跟踪训练3　解方程组 解　方程组可化为 即为或 或或 解得或或或 所以原方程组的解集为 . 三、二元一次方程组的应用 例4　某商场开展促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元. (1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ (2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少元？ 解　(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得 解得 所以打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元. (2)80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3 640(元). 所以打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元. 反思感悟　用二元一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系. (2)设元：用字母表示题目中的未知数. (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组. (4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值. (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 跟踪训练4　水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ 解　(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得 解得 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. (2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得 消去z得5x+2y=40，x=8-y， 因为x，y是正整数，且不大于16，得y=5，10， 由z是正整数，解得或 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆. 1.知识清单： (1)求一次方程组的解集. (2)求二元二次方程组的解集. (3)一次方程组的实际应用. 2.方法归纳：代入消元法、加减消元法. 3.常见误区：消元不恰当造成运算烦琐. 1.方程组的解集是(　　) A. B. C.{(3，-2)} D.{(-2，3)} 答案　C 解析　已知 由②-①，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=1，解得y=-2，所以原方程组的解为即其解集为{(3，-2)}. 2.三元一次方程组的解集为(　　) A.{(-2，4，3)} B.{(1，3，2)} C.{(-1，4，3)} D.{(1，2，3)} 答案　D 解析　已知 由①+②得x-z=-2，④ 由③和④组成一个二元一次方程组解得把x=1代入①得1-y=-1，解得y=2，所以原方程组的解是即其解集为{(1，2，3)}. 3.方程组的解集为　　　　.  答案　{(-2，-1)，(1，2)} 解析　∵∴-x2+3=x+1， ∴x2+x-2=0，∴(x+2)(x-1)=0， ∴x=1或x=-2，分别代入y=x+1可得或 ∴方程组的解集为{(-2，-1)，(1，2)}. 4.已知方程x+3y=5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为这个方程可以是　　　　.  答案　x-4y=0(答案不唯一) 解析　设所写出的二元一次方程为y=kx+b(k≠0).把(4，1)代入y=kx+b，得1=4k+b， 令b=0，则k= ∴这个方程可以是y=x，即x-4y=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.若方程组的解集是{(1，-1)}，则a，b为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　将x=1，y=-1代入方程组， 可解得a=1，b=0. 2.求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 答案　B 解析　根据系数特点，先消去y最简便. 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y=x-3； 根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y=x+5.列方程组为 4.已知方程组有无数多个解，则a，b的值分别为(　　) A.a=-3，b=-14 B.a=3，b=-7 C.a=-1，b=9 D.a=-3，b=14 答案　A 解析　检验满足==的只有a=-3，b=-14. 5.(多选)方程组的解集的子集有(　　) A.{(3，5)，(-1，-3)} B.{(2，6)} C.{(-1，-3)} D.{2，6} 答案　AC 解析　 由①得y=2x-1，代入②得 3x2-2x-(2x-1)2=-4，整理得x2-2x-3=0， 解得或 故方程组的解集为{(3，5)，(-1，-3)}. 6.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为(　　) A.3 B.-3 C.-4 D.4 答案　D 解析　由得 代入y=kx-9得-1=2k-9，解得k=4. 7.(5分)三元一次方程组的解集是　　　　.  答案　{(1，-1，-2)} 解析　已知 由①+②，得2x+4y=-2，即x+2y=-1，④ 由②×3+③，得3x+11y=-8，⑤ ④⑤组成二元一次方程组得 解得把y=-1代入②中，得z=-2. 故方程组的解是 8.(5分)已知A={(x，y)|x2+4y2-4=0}，B={(x，y)|x-2y-2=0}，则A∩B=　　　　　　.  答案　{(2，0)，(0，-1)} 解析　已知 由②得x=2y+2，③ 把③代入①，整理得8y2+8y=0， 即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1， 把y1=0代入③，得x1=2， 把y2=-1代入③，得x2=0， 所以原方程组的解是或 即其解集是{(2，0)，(0，-1)}. 即A∩B={(2，0)，(0，-1)}. 9.(10分)已知是二元一次方程组的解，求的值. 解　把代入二元一次方程组 得解得 所以原式===4. 10.(11分)善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”方法：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5③，将方程①代入③得2×3+y=5，∴y=-1，将y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组(5分) (2)已知x，y满足方程组求整式x2+4y2+xy的值.(6分) 解　(1)由题知方程组为 将方程②变形为9x-6y+2y=19， 即3(3x-2y)+2y=19，③ 将方程①代入③得3×5+2y=19，解得y=2；将y=2代入①得x=3，∴方程组的解为 (2)由题知方程组为 由①得3(x2+4y2)=47+2xy， 即x2+4y2=③ 把方程③代入②得2×+xy=36， 解得xy=2，将xy=2代入③得x2+4y2=17， ∴x2+4y2+xy=17+2=19. 11.读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧.我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇.由此可推算，学生人数为(　　) A.120 B.130 C.150 D.180 答案　A 解析　设毛诗有x本，春秋有y本，周易有z本，学生人数为m， 则解得 12.已知|x-z+4|+|z-2y+1|+|x+y-z+1|=0，则x+y+z等于(　　) A.9 B.10 C.5 D.3 答案　A 解析　由题意，得 ③-①，得y=3. 把y=3代入②，得z=5.把z=5代入①，得x=1. 所以x+y+z=1+3+5=9. 13.学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是：胜1场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有(　　) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 答案　B 解析　设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 把③代入①②，得 解得z=(k∈N+). 又因为z为正整数，所以当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1. 综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种. 14.(5分)关于x，y的方程3kx+2y=6k-3，对于任意k的值都有相同的解，则方程的解集为　　　　.  答案　 解析　方程可化为k(3x-6)+2y+3=0， 由题意得解得 15.(多选)已知关于x，y的方程组 给出下列结论，其中正确的是(　　) A.是方程组的一组解 B.当k=时，x，y的值互为相反数 C.若方程组的解也是方程x+y=4-k的解，则k=-1 D.是方程组的解 答案　AB 解析　解方程组得 A项是方程组的一组解，故A正确； B项，当k=时，x=3k-2=-2=-y=1-k=1-=x，y的值互为相反数，故B正确； C项也是方程x+y=4-k的解， ∴x+y=3k-2+1-k=-1+2k=4-k， ∴3k=5，k=故C错误； D项，由知D错误. 16.(12分)当k为何值时，方程组 (1)有一组实数解，并求出此解；(4分) (2)有两组不相等的实数解；(4分) (3)没有实数解.(4分) 解　将①代入②，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0， 当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4×k2×1=-16(k-1). (1)当k=0时，y=2，则-4x+1=0， 解得x=方程组的解为当 即k=1时，原方程组有一组实数解， 将k=1代入原方程组得 解得 所以当k=0或k=1时，此方程组有一组实数解，且此解为或 (2)当即k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解， 所以当k<1且k≠0时， 原方程组有两组不相等的实数解. (3)当时， 即当k>1时，方程组无实数解. 学科网（北京）股份有限公司 $