第二讲 集合的基本关系-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第二讲 集合的基本关系 【学习目标】 1．理解子集、真子集的概念，会用列举法求有限集的所有子集。 2．能用符号和维恩图表达集合间的关系，会判断两个集合间的关。 3．能根据集合的关系解决简单的求参问题。 【基础知识】 一、子集 1．概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． 2．记法：A⊆B(或B⊇A) 3．读法：A包含于B(或“B包含A”) 4．如果A不是B的子集，记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)． 5．性质：A⊆A；∅⊆A． 注意事项： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． (2)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． (3)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． (4)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． (5)子集有下列两个性质： ①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； ②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C． 二、真子集 1．概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集． 2．记法：A B(或B A) 3．读法：A真包含于B(或“B真包含A”) 4．子集、真子集的性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果A B，B C，则A C． 注意事项： 在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． 二、维恩图 1．维恩图定义：一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图． 2．维恩图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． 三、集合的相等 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． 四、集合子集、真子集的个数 假设集合A中含有n个元素，则有： 1．A的子集的个数为2n个； 2．A的真子集的个数为2n－1个； 3．A的非空真子集的个数为2n－2个． 【考点剖析】 考点一：集合的子集、真子集 例1 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【解析】　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0， 得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4． 故集合A＝{－4，－1,4}， 由0个元素构成的子集为：∅； 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}． 因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1，4}． 【答案】 子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1，4}． 考点二：集合相等 例2 给出以下5组集合： ①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}； ②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}； ③M＝∅，N＝{0}； ④M＝{π}，N＝{3．141 5}； ⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}． 其中是相等集合的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【解析】　对于①，M＝{(－5，3)}中只有一个元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有两个元素－5，3，故M，N不是相等集合；对于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；对于③，M＝∅，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等集合；对于④，M＝{π}，N＝{3．141 5}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；对于⑤，M和N都只有两个元素1，2，所以M和N是相等集合．故选A． 【答案】　A　 考点三：集合