第八讲 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（2019人教B版必修第一册）

第八讲 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【学习目标】 1．理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用。 2．会利用一元二次方程根与系数的关系。 3．进行计算求值及求参数的取值范围。 【基础知识】 一、一元二次方程 1．一元二次方程的定义：形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 2．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． (2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法． (3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b, c的值代入式子x＝中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 3．一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． 4．一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{}；， (2)当Δ＝0时，方程的解集为； (3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 二、一元二次方程根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．，x1·x2＝ 2．应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： (1) (x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； (2)；＝＋ (3)|x1－x2|＝；＝ (4)x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；＋2x1x2＋x＝(x＋x (5)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (6)；＝＋ 【考点剖析】 考点一：用配方法解一元二次方程 例1 用配方法解下列方程： (1)x2＋3＝2x； (2)2x2－5＋x＝0. 【解析】　(1)移项，得x2－2x＝－3. 配方，得x2－2)2，)2＝－3＋(x＋( 即(x－. )2＝0.∴x1＝x2＝ ∴原一元二次方程的解集是{}． (2)移项，得2x2＋x＝5. 二次项系数化为1，得x2＋. x＝ 配方，得x2＋. ＋＝x＋ ∴. ＝ ∴x＋. ＝± ∴x1＝，，x2＝ ∴原一元二次方程的解集是｛｝. ， 【答案】 (1) {｝，} (2) ｛ 考点二：方程根个数的判断及应用 例2 已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程无实数根． 【解析】　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝. (3)因为方程有实根， 所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤. (4)因为方程无实根， 所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>. 【答案】 (1) k< (4) k> (3) k≤ (2) k＝ 考点三：利用公式法解一元二次方程 例3 用公式法解下列方法： (1)x2－4eq \r(3)x＋10＝0； (2)(x＋2)2＝2x＋1. 【解析】　(1)∵a＝1，b＝－4eq \r(3)，c＝10， ∴b2－4ac＝(－4eq \r(3))2－4×1×10＝8>0， ∴x＝eq \f(－－4\r(3)±\r(8),2×1)＝eq \f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq \r(3)±eq \r(2)， ∴x1＝2eq \r(3)＋eq \r(2)，x2＝2eq \r(3)－eq \r(2). ∴方程的解集为{2eq \r(3)＋eq \r(2)，2eq \r(3)－eq \r(2)}． (2)原方程可化为x2＋2x＋3＝0. ∵a＝1，b＝2，c＝3， ∴b2－4ac＝22－4×1×3＝－8<0， ∴此方程无实数根． 【答案】 (1) {2eq \r(3)＋eq \r(2)，2eq \r(3)－eq \r(2)} (2) 无实数根 考点