第08讲 集合的概念及其表示-2021年暑假初升高数学衔接课程（基础版）（全国通用）

第8讲 集合的概念及其表示 一、知识及其例题 知识点一 集合的概念 【例1】（多选题）下列各组对象能构成集合的是（ ）1.集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合． 集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示． 2.元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素． 元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示． A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【变式1】（多选题）下列哪些对象能形成一个集合（ ） A．身材高大的人 B．比2大的数 C．直角坐标系上的横纵坐标相等的点 D．面积较大的矩形 知识点二 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 注意： (1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果． (2)“”“”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的． 2.集合的分类 集合 3.常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【例2】用符号和填空． （1）设集合是正整数的集合，则0_____，____，______； （2）设集合是由满足的有序实数对组成的，则_____，______； （3）设集合由可表示为的实数构成，则0______，______，______． 【变式2】(1)用符号“”或“”填空： ①2_____N；②______Q；③______Z；④3.14______R；⑤______N；⑥_____Q. (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 知识点三　 元素的三个特征 元素 意义 确定性 元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，要么aA要么aA 互异性 集合中的元素互不相同，即aA且bA时，必有a ≠ b 无序性 集合中的元素是没有顺序的，如：1，2和2，1构成的集合是同一个 【例3】已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　) A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 【练习3】已知集合A是有a＋1，a2－1三个元素组成的集合，若0∈A，则实数a的值为________． 知识点四　 集合的表示 1.列举法　 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{ }”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法． 提示：列举法表示的集合的种类：①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}． 2.描述法 如果一个集合是无限集，或元素无明显规律，不能一一列举。可以把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。这种表示集合的方法叫做描述法． 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 剖析： 例如：不小于0,且不大于3的实数组成的集合表示为，或 温馨提示：实数范围可省略，一般x默认取值为实数，如：， （3）图示法：数轴或venn图（韦恩图） 数轴：，在数轴可以表示为如图所示，端点值不包含的画成空心的形式。 venn图:用封闭的图形表示集合,如图。 【例4】用列举法表示下列集合． (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)集合A中任一元素，且； (3)方程x2＝x的所有实数根组成的集合． 【变式4】(1)用列举法表示方程的解集为______________. (2)方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【例5】试用描述法表示下列集合． (1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合； (2)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合； (3)函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合． 【练习5】（1）用适当的方法表示下列集合． ①由大于10小于20的所有整数组成的集合． ②抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合； ③直线y＝x上去掉原点的点的集合． 【例6】用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． 【变式6】（1）自然数的平方组成的集合． （2）由0，1，2这三个数