第20讲 反函数（反函数的概念、反函数的图像）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第20讲 反函数（反函数的概念，反函数的图像） 【基础知识】 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x= 。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 EMBED Equation.DSMT4 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与 图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点 (b,a)必在 图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c, 除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如 ； （5）y=f(x)与 互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[ ]=x , ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), , 与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与 图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)= 与 有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出 ； （3）改写：在 中，将x,y互换得到 ； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【考点剖析】 考点一：反函数的概念与存在条件 例1．函数f(x)= -2ax-3在区间 上存在反函数的重要条件是（） A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】解题策略： 应在函数f(x)的单调区间内。 解：函数对称轴为x=a。依题意 故选C 例2．求函数y= +2 的反函数定义域。 【难度】★★ 【答案】解：当 时y= +2 ，即y= +2的值域是 ， ∴y= +2 的反函数的定义域为 。 注意：反函数的定义域为原函数的值域。 例3．已知y= x+m和y=nx- 互为相反数，求m,n的值。 解题策略：求其中一个函数的反函数，与另一个函数对应项相同 【难度】★★ 【答案】解：由y= x+m得x=2y-2m, ∴y= x+m的反函数是y=2x-2m . 由题设y=2x-2m与y=nx- 表示同一函数， 从而有 注意：一个函数的反函数是唯一确定的。 例4．点（1，2）即在y= 图像上，又在其反函数的图像上，求a与b的值。 解题策略：（2，1）点也在函数图像上，待定系数法求a,b 【难度】★★ 【答案】解：点（1，2）在反函数图像上，则点（2，1）在原函数y= 上，又点（1，2）也在y= 上，有 。 注意：点（a,b）在 图像上，则（b,a）一定在y=f(x)图像上 例5．．已知f(x)= -1 ,求 。 【难度】★★ 【答案】解题策略： 中的“4”应为f(x)的一个函数值， 就是对应的自变量值 解：令f(x)= -1=4 得 =5又 得x= ,∴ = 注意：先求 ，再求 也可，但不如利用互为反函数的对应法则之间的关系简单。 考点二：求函数反函数的问题 例1．求函数 的反函数 【难度】★★ 【答案】解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解： = 由 EMBED Equation.DSMT4 (2x-1)y=x+5 (2y-1)x=5+y EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 原函数反函数为 = 注意：要养成标明反函数定义域习惯：仿本例做法如 的函数值域为 。 例2．求函数y= -8x+13(x≤4)的反函数 【难度】★★ 【答案】解题策略：按求反函数的常规步骤求解。 解：由y= -8x+13 y= 由y= 原函数的反函数为 注意：又y=f(x)解出 时遇到开平方，要根据x的范围确定取“+”号还是取“-”号。 例3．求函数f(x)= 的反函数 【难度】★★ 【答案】解题策略：按分段函数的反函数分段来求。 解：(1)由y= EMBED Equation.DSMT4 y≥-1, 由 的反函数是 y= (2)由y=2x-1(x<0) y<-1, 由y=2x-1 x= 的反函数为 由(1) (2)