第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第3节 函数的奇偶性及周期性 知识回顾 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数奇偶性的几个重要结论 (1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3．函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数． (2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数． 4.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5.关于周期的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a. 课前检测 1．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B. 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ex C．y＝|x| D．y＝ex－e－x 解析：选D　A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D. 3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数 为奇函数，则实数 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 函数 为奇函数， ， ，即 ，化简得 ，则 ． 故选 A 4.【2019年浙江杭州单元测试】已知在上为奇函数，当，，则当 时， 的解析式为 ________ 【答案】 【解析】 5.【2019年浙江宁波宁波效实中学高一上学期期中考试数学试卷（理）】已知定义在 上的偶函数 ，当 时，，则函数 的解析式为______________________；若有 ，则 的取值范围为______________________． 【答案】； 【解析】【分析】：首先设 ，，利用函数是偶函数求函数的解析式； 因为函数是偶函数，所以不等式转化为 ，利用函数在 的单调性解不等式． 设 ，， 函数是偶函数， ， 函数 的解析式为 当 时，， 当 时，函数单调递增， ， ，即 ， ， 或 ． 故答案为 ；． 【备注】【点睛】：本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式和解不等式，意在考查转化与化归，属于基础题型，如果函数在定义域内是连续的，奇函数，并且单调递增，那么解 ，只需解 ；若函数是偶函数，并且在 单调递增，解 ，需转化为 ，解 ． 课中讲解 考点一.奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝ 解　(1)定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x) ＝－f(x)， 所以函数为奇函数． (2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数． (3)当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x) ＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x2＋x)＝－