第二章 第二节 函数的单调性及最值-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第二节 函数的单调性与最值 知识回顾 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [熟记常用结论] 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性． (2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数． 2．复合函数的单调性 对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． 课前检测 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________． ①y＝； ②y＝(x－1)2； ③y＝2－x; ④y＝log0.5(x＋1)． 答案　① 解析　①中，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②中，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函 数，故错误；③中，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；④中，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误，故选①. 2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题： ①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)． 答案　②③④ 解析　由x＝x，未必有x1＝x2，故①不正确；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，故④正确． 3．函数f (x)＝(－2x2＋x)的单调增区间是________；f (x)的值域是________． 答案　　[3，＋∞) 4．函数y＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　由条件知 解得－1≤a<1. 5．设函数f (x)＝是单调函数．则a的取值范围是________；若f (x)的值域是R，则a＝________. 答案　(0,2]　2 解析　当x≥1时，f (x)＝＝x＋，则f′(x)＝1－≥0恒成立， ∴f (x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x)min＝f(1)＝2， 当x<1时，f (x)＝ax， 由于f (x)是单调函数， ∴f (x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立， ∴ 故a的取值范围为(0,2]， ∵当x≥1时，f (x)≥2， 由f (x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2， 故a＝2. 课中讲解 考点一.判断函数的单调性 例1　(1)判断函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性． (2)求函数y＝的单调