第18讲 函数的应用（1）（函数关系的建立、用函数观点求解方程和不等式）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

函数的应用（1） （函数关系的建立，用函数观点求解方程和不等式） 【基础知识】 一：函数的零点 归纳：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． （2）二次函数的零点 二次函数 的零点个数，方程 的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 ，这个 也就是方程 的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程 ，方程 无实根则函数无零点，方程 有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 的图象交点的横坐标． 二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有 ； ②当k＜x1＜x2时，有 ； ③当x1＜k＜x2时， ； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有 ； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 ． 【考点剖析】 考点一：函数关系的建立 考点二：求函数的零点 例1．已知函数 ． （1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0； （2）画出函数 的图象（简图），并求出函数 的零点； （3）讨论函数 在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2． （2）函数 的图象如右图，零点为―3，―1，2． （3）由函数的图象可以直观地看出，在函数 的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正． 【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2； （2）可以用描点的方法画出函数图象的简图； （3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负． 例2．例2.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，那么函数 的零点是 ． 【思路点拨】由题意可知，2a+b=0，即b=－2a；代入并令g（x）=0解得x=0或 ． 【答案】0， 【解析】∵一次函数f（x）=ax+b有一个零点2， ∴2a+b=0，即b=－2a； ∴令 ， 解得，x=0或 ； 故答案为：0， ． 【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系． 考点三：函数零点的存在性定理 例1．已知函数 ，问：方程 在区间 内有没有实数根？为什么？ 【答案】没有实数根 【解析】先求出 及 的值，进而确定 和 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定 在 上有实数根． ， 且函数 的图象是连续曲线， 在区间 内有实数根 【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程 在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程 在区间 内有实数根，不一定有 ． 考点四：一元二次方程根的分布 例1，已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0． （1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求 的取值范围． （2）若方程两根均在区间（0,1）内，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）条件说明函数 的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知， ，∴ ． ∴ ． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有 ． ∴ ． ∴ ． 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用． 【真题演练】 一、单选题 1．（2020·上海高一专题练习）王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照王叔叔的行程时间段可知函数图象分三段. 【详解】由题意0-