第13讲 对数函数(对数函数的定义与图像、对数函数的性质）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第13讲 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质） 【基础知识】 【考点剖析】 考点一：对数函数的概念与简单运用 例2．求下列函数的定义域 （1） （2） 【难度】★★ 【答案】解：（1） 且 且 （2） 例3．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数 的定义域。 【难度】★★ 【答案】解：由 得 , 由于 为定义域上的减函数，故得： 1/2≤x-3≤1 ∴7/2≤x≤4。 ∴所求函数的定义域为[7/2，4]。 注意：已知y=f(x)定义域[a,b]，求y=f[g(x)]定义域，只需a≤g(x) ≤b,解x的取值范围即可。 例4．若 ，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 例5．函数 的定义域为[1，2]，则函数 的定义域为 （ ） A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16] 【难度】★★ 【答案】D 例6．已知函数 的定义域为R，求实数a的取值范围。 【难度】★★ 【答案】解：依题意， 恒成立。 当a=0时，不等式1>0恒成立。 当a≠0时，有 得：0<a<4。 综合（1）、（2），得a∈[0,4). 注意：勿忘讨论二次项系数为零这一情况。 例7．函数 若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围 当 时，求y=f(x)的反函数 【难度】★★ 【答案】解：（1）不等式 ，所以 即可 （2）当 时， ，所以 当 时， ，所以 考点二：对数函数的性质与图像问题 例3．由函数 图像，画出下列各函数图像。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【难度】★★ 【答案】 SHAPE \* MERGEFORMAT 注意： 由 向右平移1个单位得到，而 为偶函数，y轴左侧图像由y轴右侧 的图像关于y轴对称而得到。（图中实线为保留部分。虚线为擦除部分） 例4．右图是对数函数 的图像，已知a取 则相应于C1C2C3C4的a值依次为 。 【难度】★★ 【答案】解题策略：根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答。 解： 注意：x=1时，左侧0<a<1, 在x=1右侧a>1。 SHAPE \* MERGEFORMAT 例5．已知 ，试确定m和n的大小关系。 【难度】★★ 【答案】解法一：分三种情况，令y1=logm5,y2=logn5, 当 时，如图（1）有1<m<n。 当 时，如图（2）有0<m<n<1。 当 时，如图（3）有0<n<1<m 注意：本题也应用了 图像在第一象限的分布规律。 SHAPE \* MERGEFORMAT 解法二： （1）当 时，则 ，所以1<m<n。 （2）当 时，则 ，所以0<m<n<1。 （3）当 时，则有0<n<1<m 考点三：对数函数与指数函数的关系 例1．函数y= 的图像过点（9,2），求 的值。 【难度】★★ 【答案】解： 的图像过点（9,2），得 ,即a=3。 ， 注意：本题运用了结论 例2．将y=2x的图像：（ ）再作关于y=x对称图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像。 （A）先向左平行移动1个单位 （B）先向右平行移动1个单位 （C）先向上平行移动1个单位 （D）先向下平行移动1个单位 【难度】★★ 【答案】解：y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1，因此只要把y=2x的图像向下平移1个单位，就得到y=2x-1的图像，再作它关于直线y=x的对称图像，就可得到y=log2(x+1)的图像，故选（D） 注意：两个函数图像若关于直线y=x对称，则它们互为反函数。 例3． 考点四：对数函数与函数性质的综合应用 例1．【例21】（1）求函数y=lg(x+1)的值域。 （2）求函数 的值域。 （3）函数 值域为R，求实数a范围。 【难度】★★ 【答案】解：（1）定义域为（-1，+∞），t=x+1∈（0，+∞）→y∈R。 （2）定义域为（-∞，0）∪（1，+∞），令 ,则t∈（0，+∞）→y∈R。 （3）依题意有a=0或 ,则a∈[0,1/4]。 注意： 值域为R的条件为a≠0. 值域为R的条件为a>0,且△≥0或a=0且b≠0. 例2．求函数 的最值。 【难度】★★ 【答案】解：令 则t∈[-1,-1/2]，有 +4 ∴当t=-1,即x=4时， ；当t=-1/2即x=2时， 。 注意：换元后，求出新变量范围。 例3．已知x满足不等式2(log2x)2-7log2x+3 0,求函数f(x)=log2 的最大值和最小值。 【难度】★★ 【答案】最大值2；最小值 例4．解不等式 【难度】★★ 【答案】 注意： 常转化为 。 例5．解不等式 . 【难度】★★ 【答案】解：原不等式等价于： 综上：