第12讲 指数函数（指数函数的定义与图像、指数函数的性质）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第12讲 指数函数（指数函数的定义与图像，指数函数的性质） 【基础知识】 【考点剖析】 考点一：指数函数的概念和性质 例2．在下列函数中，是指数函数的有_________________ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 【难度】★【答案】①⑥ 例3．函数 是指数函数，求 的值 【难度】★★【答案】2 例4．函数 的定义域是 【难度】★★【答案】 例5．函数 在 上是减函数，求 的取值范围 【难度】★★【答案】 考点二：指数函数的图像及其应用 例6．指数函数① ② 满足不等式 ，则它们的图象是 (　　) 　 INCLUDEPICTURE "http://resource.ahedu.cn/statics/jspx/gzpd/xkjx/g1sx/g1sx09/unit2/dxlt01/image089.jpg" \* MERGEFORMATINET 　　 【难度】★★【答案】C 例7．(1)函数 的图象一定过____________象限. (2)函数 的图象一定过定点 ，则 点的坐标是_________. (3)函数 与___________的图象关于 轴对称. 【难度】★★ 【答案】(1) = ,它可以看作是指数函数 图象作关于 轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限. (2) 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且 一定过点 ,则 应过点 . (3)图象与 关于 轴对称的函数为 . 例8．方程 的实根的个数为_______________. 【难度】★★【答案】2 例9．.比较下列各组数的大小: 和 ；(2) 和 ；(3) 和 ；(4) 和 （ ， ）； (5) 和 ；（6） 和 。 【难度】★★ 【答案】(1) 在 上是减函数,又 ,故 <. (2)= ,由 的单调性可得, >即 >. (3)由 >1而 <1,可知 >. (4)当 时, <,当 时, >. (5)函数 在R上是增函数， ，( > (6)函数 在R上是减函数， ，( < 例10．已知函数，定义函数 给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是. 【难度】★★【答案】②③ 考点三：指数函数相关的复合函数问题 例11．1）函数 的定义域为 ，值域为 函数 的定义域为 ，值域为 函数 的定义域是；值域是. （4） （5）函数 的定义域，值域；在区间 上是增函数 （6）函数 的定义域是，值域是 ． 【难度】★★ 【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4） ；（5）R，（0，8〕，（-∞， 1〕；（6） ， 例12．(1)函数 的单调递增区间是_______________. (2)函数 （ ）的递增区间为___________，单调减区间为___________ 【难度】★★ 【答案】(1)令 ,显然当 时,由 是增函数,此函数是单调递增的. （2）令 ，则 ，当 时， ，内层函数为减，外层函数为增，所以复合函数的减区间为 ；当 时， ，内层函数为减，外层函数为减，所以复合函数的增区间为 例13．已知对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【难度】★★ 【答案】原不等式化为 EMBED Equation.DSMT4 在R上是减函数， 即 原不等式对任意 恒成立， 解得： EMBED Equation.DSMT4 实数 的取值范围是 考点四：指数函数的综合运用 例8.某公司投资兴建了甲、乙两个工厂，2001年公司从甲厂获得利润100万元，从乙厂获得利润400万元，以后每年上缴的利润甲厂一翻一番的速度递增，而乙厂则减为上一年的一半，试问： （1）哪一年公司从这两个工厂获得的年总利润最少？ （2）哪一年开始，公司从这两个工厂获得的年利润超过50000万元？ 【难度】★★ 【答案】由题意知，经过 年后，从甲厂获得的年利润为 万元，从乙工厂获得利润为 万元。 故公司的年总利润为 （1） 当且仅当 ，即 时，等号成立 经过1年（即2002年），公司从两家获得的年利润最少 （2） 又 万元 所以经过9年，即从2010年开始，公司从两家工厂获得的年总利润超过50000万元。 【反思总结】 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决． （1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如 ( 且 )函数的单调性； （2）会根据 ( 且 )的单调性求形如 ， 的值域； （3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用 【真题演练】 一、单选题 1