第11讲 幂函数（幂函数的定义与图像、幂函数的性质）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第11讲 幂函数（幂函数的定义与图像，幂函数的性质） 【基础知识】 1、幂函数的定义： 【考点剖析】 考点一：幂函数的概念 例1．下列函数中，是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★【答案】A 例2．函数 是幂函数，求 的值 【难度】★★【答案】-1或2 例3．函数 的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是 【难度】★★【答案】 考点二：幂函数的定义域 考点三：幂函数的图象与性质 ． 【真题演练】 一、单选题 1．（2020·上海高一单元测试）设集合 且 ，则 中 A．元素个数为 B．元素个数为 C．元素个数为 D．含有无穷个元素 【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数单调性，可得不存在满足条件 ，即可得出结果. 【详解】 ，不妨设 ， 所以不存在 ，使得 成立， 所以集合 元素为0个. 故选:A. 【点睛】本题以集合元素为背景，考查幂函数、指数函数的单调性，考查推理能力，属于基础题. 2．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）若 ，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，利用不等式的基本性质即可判断出正误；对于B、C，取 ，代入即可判断正误；对于D，由于函数 在 上单调递增，即可判断出正误． 【详解】解：由题可知， ， 对于A， ， ，故A不正确； 对于B，取 ，则 ，所以 ，故B不正确； 对于C，取 ，则 ，所以 ，故C不正确； 对于 ，由于函数 在 上单调递增，由于 ，则 ，故D正确． 故选：D. 3．（2020·上海市复兴高级中学高一期中）直线 ， ， 及幂函数 将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数 的图像在第一象限中经过（ ） A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】解：在直线 的左侧，幂函数的指数越大越接近于 轴， ， 在 的左侧位于 左侧，故经过⑤， 在直线 的右侧，幂函数的指数越小越接近于 轴， 在 的右侧位于 上方 的下方，故经过①. 故选：D. 二、填空题 4．（2021·上海高一期末）若幂函数 在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【分析】由幂函数的性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数 在区间 上是严格减函数， 所以 ， 故答案为： 5．（2021·上海高一期末）函数 的定义域为_______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为 ，即可求得原函数的定义域. 【详解】 ，所以， . 因此，函数 的定义域为 . 故答案为： . 6．（2021·上海高一期末） 在幂函数 的图象上，则该幂函数的表达式为____. 【答案】 【分析】将点 的坐标代入幂函数 的解析式，求出 的值，可得出该幂函数的解析式. 【详解】由题意可得 ，解得 ，因此，该幂函数的解析式为 . 故答案为： . 7．（2021·上海复旦附中高一期末）不等式 的解集为____. 【答案】 【分析】不等式 等价于 ，借助单调性得到一元二次不等式 ，解不等式即可. 【详解】不等式 等价于 因为 在 上单调递增， 所以 ，化简得： 所以 . 故答案为： . 8．（2021·上海格致中学高一期末）已知 当x∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式 恒成立，则满足条件的a形成的集合为_____. 【答案】 【分析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果. 【详解】令 ，由 可知，幂函数 的图象在 的图像上方，如果函数 为奇函数，则第三象限有图象，所以 不是奇函数，故 不符合； 由于 ，所以 整理得 ，所以 得 ，故 不符合；所以 即 ， 故答案为： 9．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数 的图像关于 轴对称，与 轴及 轴均无交点，则由 的值构成的集合是__________． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可. 【详解】由幂函数 与 轴及 轴均无交点， 得 ， 解得 ， 又 ，即 ， 的图像关于 轴对称， 所以 ， 故答案为： . 10．（2021·上海华师大二附中高一期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 ______. 【答案】 【分析】由条件求出 ，然后可求出答案. 【详解】因为幂函数 的图象过点 所以 ，解得 ，即 所以 故答案为： 11．（2021·上海市控江中学高一期末）已知幂函数 的图像不经过原点，则实数 _________. 【答案】 【分析】先由幂函数的定义求出 ，再检验得解. 【详解】依题意得 ，解得 ． 此时 ，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m的值为2． 故答案为: 12．（2021·上海市川沙中学高一期末）幂函数 的定义域为________________. 【答案】 【分析】根据函数解析