第10讲 对数（对数的定义、对数的运算性质、对数的换底）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第10讲 对数（对数的定义，对数的运算性质，对数的换底） 【基础知识】 一、对数概念 1.对数的概念 如果 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a(1， N>0， b(R. 2.对数 具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即 ； (2)1的对数为0，即 ； (3)底的对数等于1，即 . 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数， .以e（e是一个无理数， ）为底的对数叫做自然对数， . 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 二、对数的运算法则 已知 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(M(N)=logaM(logaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga . 三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即 ， 即 ，即: . (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即 ， 即 ，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 【考点剖析】 考点一：指数式与对数式互化及其应用 例1．将下列指数式与对数式互化： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) . 【解析】运用对数的定义进行互化. (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) . 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 考点二：利用对数恒等式化简求值 例2．求值： 【答案】35 【解析】 . 【总结升华】对数恒等式 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 考点三：积、商、幂的对数 例3． 表示下列各式 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） = ． 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 考点四：换底公式的运用 例4已知 ，求 ． 【答案】 【解析】 解法一： ， ， 于是 ． 解法二： ， ， 于是 解法三： ， ， ． 解法四： ， 又 ． 令 ，则 ， 即 ． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“ ”的灵活运用． 考点五：对数运算法则的应用 例5.（1）计算： （2） （3） （4）若 ，求x的值． 【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出； （4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出． 【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2 【解析】（1）原式 （2）原式= = （3）原式= （4）∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 解得x=－1或x=2， ∵x＞0， ∴x=2 例6（设函数 （1）当a=0.1，求f（1000）的值． （2）若f（10）=10，求a的值； 【思路点拨】（1）当a=0.1时， ，把x=1000代入可求 （2）由 ，可求 ，进而可求a 【答案】（1）－14；（2） 或 【解析】（1）当a=0.1时， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 或 ∴ 或 【真题演练】 一、单选题 1．（2020·上海高一单元测试）下列说法正确的是（ ） A．因为 ，所以 B．因为 ，所以 C．因为 ，所以 D．因为 ，所以 【答案】B 【分析】由对数的定义逐个判断即可 【