第9讲 幂与指数（指数幂的拓展）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第9讲 幂与指数（指数幂的拓展） 【基础知识】 【考点剖析】 考点一：根式 例3．计算：（1） ；（2） . 【答案】 【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. （1） = + - = =| |+| |-| | = + -（ ） =2 （2） = = = 【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全 次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中， 的分子、分母中同乘以 . 考点二：指数运算、化简、求值 例6．用分数指数幂形式表示下列各式（式中 ）： （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 【答案】 ； ； ； 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2） ； （3） ； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 = = = = = 解法二：从外向里化为分数指数幂。 = = = = = 【总结升华】此类问题应熟练应用 。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 例7．计算： (1) ； (2) (3) 。 【答案】3；0；2 【解析】(1)原式= ； (2)原式= ； (3)原式=-5+6+4- -(3- )=2； 【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 例8．.化简下列各式. （1） ； （2） ；　　（3） . 【答案】 ； ；0.09 【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算. （1）原式 ； （2） （3） 例9．．已知 ，求 的值。 【解析】从已知条件中解出 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件 的联系，进而整体代入求值。 ， ， ， = = 【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求 及 的值，然后整体代入。 例10．．（1）已知 ，求 的值． （2）化简 【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可． （2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可． 【答案】（1）3；（2） 【解析】（1） ， ． （2） 【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力． 【真题演练】 一、单选题 1．（2020·上海高一专题练习）计算 的结果是（ ） A．32 B．16 C．64 D．128 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故选：A 2．（2020·上海高一专题练习）若 ，则 等于（ ） A． B． C． D．非以上答案 【答案】B 【分析】首先被开方数写出完全平方数，再开方. 【详解】因为 ，所以 ，原式 . 故选:B. 3．（2020·上海高一专题练习）化简 ，结果是（ ） A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4 【答案】D 【分析】由根式的性质可得 ，再由根式的化简即可求解. 【详解】∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ 故选：D. 4．（2020·上海高一专题练习）设指数函数 ，则下列等式中不正确的是（ ） A．f(x+y)=f(x)·f(y) B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂的四则运算法则判断. 【详解】A. ，故正确； B. ，故正确； C. ，故正确； D. ，故错误； 故选：D 5．（2020·上海中学高一期中）若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方和公式化简所求代数式，由 可得出 ，由此可求得结果. 【详解】 ， ， 因此， . 故选：C. 6．（2020·上海高一单元测试）定义在R上的函数 满足对任意 ， 的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域为R和 一一验证判断. 【详解】A. 因为 ，所以 ，故错误； B. 定义域为 ，故错误； C. 因为 ，所以 ，所以 ，故正确； D. EMBED Equation.DSMT4 ，故错误； 故选：C 7．（2020·上海高一专题练习）若 ， ，且 ，则 的值等于 A． B． C．-2 D．2 【答案】C 【分析】先根据已知求出 的值，再求 的值. 【详解】因为 ， 所以 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 ， 所以