第8讲 基本不等式及其应用-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第8讲 基本不等式及其应用 【基础知识】 一、平均值不等式： 变式： 推广： 是 个正数，则 称为这 个正数的算术平均数， 称为这 个正数的几何平均数， 它们的关系是： ，当且仅当 时等号成立。 二、三角形不等式 如果 是实数，则 注：当 为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果 是实数,那么 ,当且仅当 时,等号成立. 【考点剖析】 考点一：简单基本不等式问题 例3．条件“ 且 ”是结论“ ”成立的 条件。 【难度】★【答案】充分非必要条件 例4．已知正数 满足 ，求 的最小值。判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。 的最小值为 【难度】★ 【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件， 当时，即，取得最小值。 例5．如果正数 满足 ，那么（ ） ，且等号成立时 的取值唯一 （B） ，且等号成立时 的取值唯一 （C） ，且等号成立时 的取值不唯一 （D） ，且等号成立时 的取值不唯一 【难度】★★【答案】A 例6．设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A．a+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥4 C ≥a+b D ≥ 【难度】★★ 【答案】D， A,B显然满足，而C中， 考点二：不等式的最值问题 例1． 例2.若 ，则 的取值范围 【难度】★【答案】 . 例3.已知 ，且 ，则 的最小值 。 【难度】★★【答案】5, 例4.已知 ，且 ，则 的最小值为 。 【难度】★★【答案】 例5.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则 的取值范围是 . 【难度】★★【答案】 ， 例6.设a>b>0，求的最小值。 【难度】★★ 【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b 所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2 例7.x>-1，当x为何值时， 的值最小？最小值是多少？ 【难度】★ 【解析】 x>-1 = = 当且仅当x=0时取最小值1。 例8非零实数 、 、 满足 ，则 的最小值是________。 【难度】★★ 【解析】1的妙用，可以从局部和整体妙用1，这也是针对于这类问题的基本思路。答案是9 例9.已知 ？ 【难度】★★ 【解析】 例10.函数 最大值与最小值分别为 。 【难度】★★ 【解析】 例11. 【难度】★★ 一正二定三相等再次忽略。 EMBED Equation.DSMT4 ， 例12.设 都是正数，且使 ，求实数 的最大值。 【难度】★★ 【解析】k最大值为√2，方法一，两边同时平方，不要忘记K大于0.方法二，参变分离，利用平方均值。 例13.已知 ， ，求 的最小值及相应的 的值。 【难度】★★ 【解析】 例14.已知 求 最小值。 【难度】★★ 【解析】 考点三：基本不等式的应用 例4．【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为 【难度】★★ 【答案】3-2√2。 例5.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润 （单位：10万元）与运营年数 为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。 SHAPE \* MERGEFORMAT 【难度】★ 【答案】x=5,最大年平均利润是20万元。 例6.某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【难度】★★ 【答案】由题意得 xy+ x2=8,∴y= = (0<x<4 ). 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2( )=( + )x+ ≥4 . 当( + )x= ,即x=8－4 时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2 ≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 例7.某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。设矩形温室的边长分别为 ，确定矩形温室的边长，使蔬菜的种植面积最大。 【难度】★★【答案】a=40m.b=20m时S最大是728平方米。 考点四：三角不等式 例4、已知 ，求证 证明 （1） ， ∴