不等式选讲【专项训练】-2020-2021学年高二数学（文）下学期期末专项复习（人教A版选修4-5）

2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（人教A版选修4-5） 专项训练 1．设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 解：（1）当时，若，则， 当时，原不等式等价于，解得； 当时，原不等式等价于恒成立，故； 当时，，原不等式等价于，解得，， 综上，不等式的解集为． （2）由绝对值三角不等式得． 因为恒成立，即恒成立， 所以， 解得或． 故实数的取值范围为． 2．已知函数． （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】 （1）由题意，函数， 则不等式等价于或或， 解得或或 所以不等式的解集为. （Ⅱ）由， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的最小值为， 因为关于的不等式恒成立， 即恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 3．已知函数. （1）解不等式 （2）记不等式解集中元素数值最小值为，若正实数满足，证明: . 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 解：（1）由题意得， ①，解得； ②，解得； ③，解集为空集． 综上，的解集为； （2）证明：由（1）知解集中元素数值的最小值， 故 ，. ， . 当且仅当时，等号成立， 即. 4．设函数的最小值为. （1）求的值； （2）若，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）当时，； 当时， 当时，. 综上，当时，， ∴. （2）由（1）知，求证：. ∵， ∴，， ∴，当且仅当，即时等号成立. 5．已知函数． （1）求的最小值m； （2）已知，若时，正常数t使得的最大值为2，求t的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 （1）因为, 所以当时，， （2）因为，所以，则， 又因为，所以， 则，所以，则或（舍）， 当且仅当，即时，等号成立． 故. 6．已知函数，. （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 由知：. （1），则的大致图象如下： 由图可知，的最小值为6，要使对一切实数x恒成立，仅需，即， ∴实数m得取值范围是. （2）由题意得，， ∵， ∴，即， 当时，，得； 当时，恒成立； 当时，，得； 综上，，即实数x得取值范围是. 7．已知函数. （1）解不等式； （2）已知关于的不等式，在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）， 当时，，解得：，； 当时，，； 当时，，解得：，； 综上所述：的解集为； （2）当时，， 则可化为：，即， 在上有解，又，， 即实数的取值范围为. 8．已知函数 （1）解关于的不等式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）由题意，函数， 因为，可得， 等价于或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. （2）当时，不等式显然成立； 当时，不等式可以变为， 由， 当且仅当即时，取得等号， 所以的取值范围是. 9．已知函数． （1）解不等式：． （2）当时，函数的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）[,4)∪{-1}． 【详解】 （1）由题意知，，即， 当时，，得； 当时，，无解； 当时，，得； 综上，不等式的解集为． （2）当时，此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形，满足题意； 当时，，则函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，图象如下图示， ∴要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形，则 解得． 综上所述，实数m的取值范围为[,4)∪{-1}． 10．已知函数． （Ⅰ）解不等式：； （Ⅱ）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】 （Ⅰ）由，得：或或， ∴解得或或，故不等式的解集为． （Ⅱ）由题意知，当时，恒成立． 若，则，可得； 若，则，可得． 综上，实数的取值范围是． 11．已知. （1）若对任意实数和，不等式恒成立，求的最大值； （2）在（1）的条件下，设，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为4. 【详解】 解：（1）根据题意，得 因为(当且仅当时取等号)， 因为(当且仅当时取等号)， 于是，解得，所以 （2）由（1）得，因为为正实数， 所以，得 由，得，所以 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 12．已知，，，设函数，． （1）若，，关于的不等式有解，求实数的取值范围； （2）若函数的最小值为1，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）解：，当且仅当时，等号成立， ∴若有解，则，，解得，即． （2）证明：由，当且仅当时取等号，所以． 由，，，，所以，所以． 令， ， ， 根据柯西不