第三章章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

答案　①负整数指数幂　②y＝ax(a>0且a≠1) ③logb N＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)　④y＝loga x(a>0且a≠1) 题型一　有关指数、对数的运算问题 指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，应给予足够的重视. 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数，再运用指数幂的运算性质进行运算.若出现分式则要考虑将分子、分母进行因式分解以达到约分化简的目的.对数式的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧. 　计算：(1)－＋(0.008)×； 【解析】　(1)原式＝－＋×＝－＋25×＝－＋2＝. (2)原式＝log3 3＋lg(25×4)＋2＋1＝＋lg 102＋3＝＋2＋3＝. 题型二　指数函数和对数函数的图像和性质 指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图像与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图像的画法、形状及其性质.由于指数函数y＝ax和对数函数y＝loga x(a>0，a≠1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，当a的值不确定时，要对它们进行分类讨论.利用这两个函数的图像与性质可研究与其相关的复合函数的单调性、奇偶性、最值、方程或不等式问题. 　已知奇函数f(x)＝(x∈R)， (1)试确定a的值； (2)判断f(x)的单调性，并证明； (3)若方程f(x)＝m在(－∞，0)上有解，试证明：－1<3f(m)<0. 【解析】　(1)定义法　因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即＝－， 化简整理得2(a－1)(2x＋1)＝0. 因为2x>0，所以a－1＝0，即a＝1. 特殊值法　因为f(x)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0. 所以a＝1.经检验，当a＝1时f(x)为奇函数. (2)由a＝1可知，f(x)＝＝1－. 所以函数f(x)在R上是增函数. (3)证明　因为x∈(－∞，0)时，2x∈(0，1)， 所以1－∈(－1，0). 若方程f(x)＝m，即1－＝m在(－∞，0)上有解，则m∈(－1，0). 因为f(x)在R上是增函数， 所以f(－1)<f(m)<f(0)， 即1－<f(m)<1－， 所以－<f(m)<0，故－1<3f(m)<0. 题型三　关于数的比较大小问题 比较几个数的大小关系是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用.常用的方法有：单调性法、图像法、中间量法(搭桥法)、作差法、作商法、分析转化法等. (1)单调性法：把要比较大小的数看成是某类函数的函数值，然后用函数的单调性比较. (2)图像法：比较两个幂值大小可考虑利用指数函数或幂函数图像的变化规律进行比较；比较对数值时，可考虑用对数函数的图像随底数的变化规律比较. (3)中间量法(搭桥法)：比较两个数大小时，不是用直接法比较这两个数的大小，而是借助第三个数即中间量来搭桥传递比较出二者的大小，这就是中间量搭桥法，常用的中间量为0，1和－1. 　(1)比较下列各组数的大小： ①422与333；②log0.5 7与log0.6 7；③log2 与log3 . (2)设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，试比较3x，4y，6z的大小. 【解析】　(1)①422＝42×11＝(42)11＝1611，333＝33×11＝(33)11＝2711， 在同一平面直角坐标系内作出指数函数y＝16x和y＝27x的图像，可得1611<2711，即422<333. ②在同一平面直角坐标系内作出对数函数y＝log0.5 x和y＝log0.6 x的图像，可得log0.5 7>log0.6 7. ③因为log2 ＝log2＝log2 ＋log2 ＝－3＋log2 ， log3 ＝log3＝log3 ＋log3 ＝－2＋log3 ， 又因为log2 <log2 2＝1，log3 >log3 1＝0， 所以－3＋log2 <－2，－2＋log3 >－2， 即log2 <log3 . (2)令3x＝4y＝6z＝t， 则x＝log3 t，y＝log4 t，z＝log6 t， 因为x，y，z均为正数，所以t>1. 因为3x＝3log3 t＝＝＝， 4y＝4log4 t＝＝＝， 6z＝6log6 t＝＝＝， 所以＝logt ＝logt ＝logt ， ＝logt ＝logt ， ＝logt ＝logt ， 因为t>1，>>， 所以>>.所以3x<4y<6z. 题型四　分类讨论思想方法的应用 分类讨论思想在人的思维发展中有着重要作用，分类讨论事实上是一种化繁为简，化整体为部分，分别对待