第三章-§5-§5.1-§5.2 对数函数的概念 对数函数y=log2x的图像和性质-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§5　对数函数 5.1　对数函数的概念 5.2　对数函数y＝log2 x的图像和性质 [目标导学] 1.理解对数函数的概念、图像及性质.(重点) 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否是对数函数.(易混点) 3.初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题.(难点) [教材梳理] 1.对数函数的概念 函数y＝loga_x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量. 2.特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg_x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln_x 3.指数函数y＝ax和对数函数y＝log ax(a>0，a≠1)之间的关系 原函数 反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 对数函数y＝loga_x(a>0，且a≠1) 对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝loga x(a>0，a≠1)的值域和定义域，反过来，对数函数y＝loga x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的值域和定义域，这样的两个函数叫作互为反函数 [要点探究] ►知识点一　对数函数的概念 在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1). [探究1]　将指数式化成对数式得到什么？ 提示　x＝loga y. [探究2]　在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？ 提示　y＝loga x. ►知识点二　反函数 考察指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1). [探究1]　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中x，y的取值范围是什么？ 提示　自变量x∈(－∞，＋∞)，函数值y∈(0，＋∞). [探究2]　对数函数y＝loga x(a>0，且a≠1)，x，y的取值范围是什么？ 提示　x∈(0，＋∞)，y∈(－∞，＋∞). [探究3]　这两个函数具有什么关系？ 提示　它们的定义域和值域互反，即y＝ax的定义域是y＝loga x的值域；y＝ax的值域是y＝loga x的定义域. 题型一　对数函数概念的应用 　(1)下列给出的函数： ①y＝log5 x＋1； ②y＝loga x2(a>0，且a≠1)； ③y＝log(－1)x； ④y＝log3 x； ⑤y＝logx (x>0，且x≠1). ⑥y＝logx. 其中是对数函数的为 A.③④⑤　　　　　　　 B.②④⑥ C.①③⑤⑥ D.③⑥ (2)对数函数的图像过点(16，2)，则对数函数的解析式为________. (3)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________. 【自主解答】　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数.故③⑥正确. (2)设对数函数的解析式为y＝loga x(a>0，且a≠1)， 由已知可得loga 16＝2，即a2＝16， 解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x. (3)由题意可得，解得a＝4. 【答案】　(1)D　(2)y＝log4 x　(3)4 ●方法技巧 判断一个函数是对数函数的方法 1.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________. 解析　由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或1， 又a＋1>0且a＋1≠1，所以a＝1. 答案　1 题型二　求对数型函数的定义域、函数值问题 　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________. (2)函数f(x)＝log(x－1)的定义域为________. 【自主解答】　(1)由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7. (2)要使函数有意义，必须 解得x>1且x≠2. 所以函数的定义域为(1，2)∪(2，＋∞). 【答案】　(1)－7　(2)(1，2)∪(2，＋∞) ●方法技巧 求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 2.(变换条件、改变问法)例2(2)的函数式不变，若f(a)＝1，则a＝________. 解析　若f(a)＝1，即f(a)＝log(a－1)＝1， 则有解得a＝4. 答案　4 3.(变换条件)若将例2(2)的函数“f(x)＝log(x－1)”改为“f(x)＝log(x＋1)