第三章-§2 指数扩充及其运算性质-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2　指数扩充及其运算性质 [目标导学] 1.理解有理数指数幂的概念，了解实数指数幂的概念.(重点) 2.掌握指数幂的运算性质，并能应用进行有关计算.(难点) 3.通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想. [教材梳理] 1.分数指数幂概念 给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂. 2.正分数指数幂、负分数指数幂与零的分数指数幂 (1)正分数指数幂的根式形式： a＝(a>0). (2)负分数指数幂的形式：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算性质 当a>0，b>0时，对任意实数m，n都满足以下三条： (1)am·an＝am＋n(两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加)； (2)(am)n＝amn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)； (3)(ab)n＝anbn(两个实数积的幂等于它们幂的积). [要点探究] ►知识点一　分数指数幂 [探究1]　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ① ＝＝a2＝a(a>0)； ② ＝＝a4＝a(a>0)； ③ ＝＝a3＝a(a>0). 提示　当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式. [探究2]　规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ 提示　由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). [探究3]　分数指数幂和整数指数幂的区别与联系？ 提示　分数指数幂a和整数指数幂an都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行计算，这是它们相同的部分.但整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂a，不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)，a－＝＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式不同而已. ►知识点二　指数的运算性质 关于“数”，我们经历了几次扩充过程.由{正整数}→{整数}→{有理数}→{实数}.那么正整数指数幂的运算性质能否扩充到整数和有理数指数幂，甚至实数范围内的运算性质呢？ [探究1]　计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？ 提示　均等于，即33×3－5＝33＋(－5). [探究2]　计算(22)和2，它们之间有什么关系？ 提示　(22)＝4＝2，2＝2，即(22)＝2. 题型一　根式的化简、求值 　求下列各式的值： (1)2××； (2) ÷(a>0)； (3) ； (4)(－)÷. 【自主解答】　(1)2××＝2×3××(3×22) ＝2×3×3×2×3×2＝2×3＝2×3＝6； ●方法技巧 (1)此类问题应熟练应用＝a(a>0，m，n∈N＋，且n>1).当各式中含有多重根号时，要弄清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算的性质化简. (2)对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示.但是值得注意的是，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含负指数幂，能合并同类项的必须合并. 1.(1)当a>0时， ＝ A.x　　　　　　　 B.x C.－x D.－x (2)化简下列各式 ① ＋－； ② ＋； ③ ＋2. 解析　(1)a>0，所以x<0， 所以＝|x|＝－x，故选C. (2)①＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝|＋|＋|2－|－|2－| ＝＋＋2－－(2－)＝2. ②＋＝＋ ＝－2－(＋2)＝－4. ③＋2＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|， 又因为≤x≤2，所以0≤2x－1≤3， －≤x－2≤0，所以原式＝2x－1＋2(2－x)＝3. 答案　(1)C　(2)①2　②－4　③3 题型二　分数指数幂的运算 　(1)＝________. (2)化简下列各式(式中字母均为正数)： 【自主解答】　(1) ●方法技巧 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 解析　(1) 答案　(1)－9a　(2) 题型三　条件求值问题 　(1)已知2x＋2－x＝5，求：①4x＋4－x；②8x＋8－x. (