第三章-§1 正整数指数函数-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1　正整数指数函数 [目标导学] 1.掌握正整数指数函数的概念、图像和性质.(重点) 2.能正确运用正整数指数函数的定义、图像和性质解决有关问题.(重点、难点) [教材梳理] 1.正整数指数函数 函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋. 2.正整数指数幂的运算性质 若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质： (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝(an)m＝amn； (3)(a·b)n＝an·bn； (4)＝ (5)＝. [要点探究] ►知识点一　正整数指数幂的运算性质 在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题： [探究1]　计算32×33的值. 提示　32×33＝35＝243. [探究2]　计算(23)2和(22)3的值. 提示　(23)2＝26＝64，(22)3＝26＝64. [探究3]　计算35÷32的值. 提示　35÷32＝35－2＝33＝27. ►知识点二　正整数指数函数 一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%. [探究1]　在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？ 提示　1＋20%＝1.2(倍) [探究2]　在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的函数关系式是什么？ 提示　y＝a·1.2x. 题型一　正整数指数函数的概念 　已知点(4，81)是正整数指数函数y＝f(x)图像上的一点， (1)求f(x)的解析式；(2)求f(3)；(3)若f(x)＝9，求x的值. 【自主解答】　(1)设f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋). 因为f(x)图像过点(4，81)，所以f(4)＝81. 即a4＝81，由a4＝34，且a>0，得a＝3. 所以f(x)＝3x(x∈N＋). (2)f(3)＝33＝27. (3)因为f(x)＝3x＝9，所以x＝2. ●方法技巧 一个函数若是正整数指数函数，则其解析式一定是y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)的形式.已知函数类型求解析式时，常用待定系数法.若判断一个函数是不是正整数指数函数，则必须严格按定义.ax的系数必须是1，指数必须是单个的x，不是关于x的表达式.否则就不是正整数指数函数，而是与它有关的复合函数，如y＝2·3x，y＝2x2＋1等. 1.(1)已知正整数指数函数f(x)＝(2m＋3)ax＋(3－n)，当x＝2时f(x)＝49，则(m＋n)2－a的值是 A.－4　　　　　　　　　 B.－3 C.1 D.3 (2)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)的图像上有一点，则8f(3)＝________. 解析　(1)由题意知所以 又f(2)＝49，所以a2＝49， 因为a>0，所以a＝7.所以(m＋n)2－a＝(－1＋3)2－7＝－3. (2)由题意得，f(2)＝，即a2＝.又a>0，且a≠1， 所以a＝.所以f(x)＝，所以8f(3)＝8×＝1. 答案　(1)B　(2)1 题型二　正整数指数幂值的大小比较 　比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空). (1)1.5819________1.5820； (2)0.52 020________0.52 019. 【自主解答】　由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小. (1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋. 因为1.58>1，所以y＝1.58x在N＋上是增函数. 又因为19<20，所以1.5819<1.5820. (2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋. 因为0<0.5<1，所以y＝0.5x在N＋上是减函数. 又因为2 020＞2 019，所以0.52 020＜0.52 019. 【答案】　(1)<　(2)＜ ●方法技巧 比较幂值大小的常见类型和方法 (1)比较幂的大小常用构造法.若两个幂的指数相同，则可构造同指数的幂函数；若两个幂的底数相同，则可构造同底数的指数函数.构造好函数模型后，通过研究函数的单调性，利用自变量的大小来确定函数值的大小. (2)若指数不同，底数也不同的两个幂值比较大小，要考虑引进中间量分别与之比较，从而得出结果. (3)应用正整数指数函数的单调性比较大小时，要确定底数是0<a<1，还是a>1.若不确定，应考虑分类讨论. 2.比较下列各组数中两个值的大小. (1)1.72，1.73；(2)1.53，0.95； (3)a2 019，a2 020(a>0，a≠1). 解析　(1)考虑正整数指数函数y＝1.7x，x∈N＋. ∵1.7>1，∴y＝1.7x在N＋上是增函数. ∵2<3，∴1.72<1.73. (2)∵1.5>1，∴y＝1.5x，x∈N＋为增函数， ∴