第二章-§4 二次函数性质的再研究-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§4　二次函数性质的再研究 [目标导学] 1.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质，会用配方法讨论二次函数图像的开口方向、大小、顶点、对称轴等性质.(重点) 2.掌握由特殊到一般的认识规律，学会用函数的图像理解和研究函数性质. 3.能应用二次函数的图像和性质解决有关问题.(难点) [教材梳理] 1.二次函数的概念 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，定义域为R. 2.二次函数的图像变换 (1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a(倍)得到. (2)从图像可以看出，二次函数y＝ax2(a≠0)中的a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小. (3)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左、右平移，“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，“k正上移，k负下移”. 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图像 a>0 a<0 性质 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (2)对称轴是x＝－，顶点坐标是 (2)对称轴是x＝－，顶点坐标是 (3)在区间上是减函数，在区间上是增函数 (3)在区间上是增函数，在区间上是减函数 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 性质 (4)抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，ymin＝ (4)抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，ymax＝ [要点探究] ►知识点一　二次函数的图像 给定下面几个函数： f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1. [探究1]　由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？ 提示　f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像. [探究2]　由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像？ 提示　把f(x)＝2x2的图像沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，即可得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像. [探究3]　f(x)＝2x2与f(x)＝－2x2的图像有什么区别？ 提示　开口大小相同，开口方向相反. ►知识点二　二次函数的性质 对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. [探究1]　将该二次函数化成顶点式. 提示　顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. [探究2]　该函数的单调区间是什么？ 提示　单调增区间为(－∞，2]，减区间为(2，＋∞). [探究3]　当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？ 提示　当x＝2时，函数的图像达到最高点. 题型一　二次函数图像间的变换 　在同一坐标系中作出下列函数的图像. (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像. 【自主解答】　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图像，如图所示. 由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 解法一　先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像. 解法二　先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像. ●方法技巧 任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示. 上述平移规律“h值，正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”. 1.(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图像？ (2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？ (3)将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并