第二章-§3 函数的单调性-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3　函数的单调性 [目标导学] 1.理解函数单调性的概念，掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法.(重点) 2.能结合定义域根据函数图像，求函数的单调区间.(重点) 3.能运用函数的单调性解决有关问题，培养对知识的综合运用能力.(难点) [教材梳理] 1.增函数与减函数的相关概念 2.函数的单调性及单调区间 [要点探究] ►知识点一　单调性的定义 [探究1]　根据下面的图像探究下列问题： (1)图①中任取x1，x2∈D，当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？图②呢？ 提示　由图①可知函数y＝f(x)的图像随x的增大而“上升”，即x1<x2时，f(x1)<f(x2).图②中函数y＝ f(x)的图像随x的增大而“下降”，即x1<x2时，f(x1)>f(x2). (2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？ 提示　图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数，图②对应的函数为减函数. (3)若函数y＝f(x)在D上是增函数，D1⊆D，则y＝f(x)在D1上是什么函数？ 提示　增函数. [探究2]　函数y＝f(x)的定义域为D，A⊆D，任意x1，x2∈A且x1≠x2都有>0，你能说f(x)在A上一定是增函数吗？ 提示　能.因为当x2>x1时都有f(x2)>f(x1)；当x2<x1时都有f(x2)<f(x1). [探究3]　若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上也是增函数吗？ 提示　函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性.如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性. ►知识点二　单调区间 [探究1]　单调函数一定有单调区间吗？ 提示　不一定.有些函数没有单调区间或者它的定义域根本就不是区间.如y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}. [探究2]　“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗？区别是什么？ 提示　意义不同.单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义. 题型一　函数单调性的判断与证明 　判断函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上的单调性，并证明. 【自主解答】　函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数，证明如下： 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). 因为2<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数. ●方法技巧 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子. (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号. (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性. 1.(变换条件、改变问法)将例1中区间“(2，＋∞)”改为“(0，2)”，判断函数f(x)的单调性，并证明. 解析　函数f(x)在(0，2)上是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈(0，2)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2). 因为0<x1<x2<2，所以x1－x2<0，0<x1x2<4，x1x2－4<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)＝x＋在(0，2)上是减函数. 答案　f(x)在(0，2)上是减函数　证明略 2.(变换条件、改变问法)将例1中的函数“f(x)＝x＋”变为“f(x)＝”，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数. 证明　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2. 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x2>x1>－1， 所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0， 因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数. 答案　略 题型二　求函数的单调区间问题 　(1)f(x)＝－2x2＋4x－3的单调递减区间为________. (2)作出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图像，并写出其单调区间. 【自主解答】　(1)f(x)＝－2x2＋4x－3开口向下，对称轴为x＝1，故其单调递减区间为[1，＋∞). 【答案】　[1，＋∞) (2)y＝ 即y＝ 作出图像如图所示. 由