第二章 第一节 函数的概念及其表示-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第1节 函数的概念及其表示 知识回顾 1．函数与映射 函数 映射 两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域. 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交. [熟记常用结论] (1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R； (2)若f(x)为分式，则要求分母不为0； (3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0； (4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义． 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)． 课前检测 1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有________(填序号)． ③ 解析　对于题图①：M中属于(1,2]的元素，在N中没有象，不符合定义； 对于题图②：M中属于(，2]的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图③：符合M到N的函数关系；对于题图④：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系． 2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　) A．y＝()2　　　　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析：选B　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B. 3．函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析：由题意得解得x≥0且x≠2. 答案：[0,2)∪(2，＋∞) 4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________. 解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1， 所以f(f(2))＝1. 答案：1 5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________. 解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4) ∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x， ∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－20 课中讲解 考点一.函数的概念 例1　(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值； (2)(多选）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【解答】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数． （2）对于，函数与的解析式不同，表示相同函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数； 对于，函数的