第一章 第四节 基本不等式-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第4节 基本不等式 知识回顾 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 课前检测 1．设a、b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　) A.＋<1 B.＋≥1 C.＋<2 D.＋≥2 解析：∵ab≤2≤2＝4，∴＋≥2≥2＝1.答案：B 2．设a，b，c，d，m，n均为正实数，p＝＋，q＝·，则(　　) A．p≤q B．p≥q C．p<q D．p>q 解析：p2＝ab＋cd＋2，q2＝(ma＋nc)·＝ab＋cd＋＋. ∵a，b，c，d，m，n均为正实数，∴＋≥2，∴q2≥p2从而p≤q.答案：A 3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：只需求(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立当且仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，求得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4. 答案：C 4．已知0<x<，则函数y＝x(1－3x)的最大值为________． 解析：∵0<x<，∴1－3x>0，∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时等号成立．∴当x＝时，函数取最大值. 答案： 5．(1)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________． (2)已知0<x<1，则y＝lgx＋的最大值是________． (3)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值是________． (4)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值________． (5)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值是________． 解： (1)∵a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝ (当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立)．故y＝＋的最小值为. (2)∵0<x<1，∴lgx<0，－lgx>0，∴－y＝－lgx＋≥2＝4， 当且仅当－lgx＝，即x＝时，等号成立，故ymax＝－4. (3)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2 ＝2 ＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20. (4)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝， 当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值. (5)∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)×＝1＋＋＋9＝＋＋10，又∵x＞0，y＞0， ∴＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 考点一．利用基本不等式求最值 1.凑系数（乘、除变量系数）. 例1　已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案　 解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． 变式1.已知：，求函数的最大值 解析：∵为定值，且，则，可用均值不等式法 ∵，∴，， 当且仅当，即时，． 变式2.设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是. [解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 ，，，的最大值是27。 2.凑项（加、减常数项）. 例2. 已知，求函数的最大值. 【答案】1 变式3.已知函数f (x)＝(x<－1)，则(　　) A．f (x)有最小值4 B．f (x)有最小值－4 C．f (x)有最大值4 D．f (x)有最大值－4 答案　A 解析　f (x)＝＝ ＝－＝－ ＝－(x＋1)＋＋2. 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0， 所以f (x)≥2＋2＝4， 当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立． 故f (x)有最小值4. 变式4. （1）已知x>2，求x＋的最小值； ∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的