第一章 第三节 不等式与不等关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第3节 不等关系与不等式 知识回顾 ．不等式的性质 为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解： 关于实数a，b大小的比较，有以下事实： 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么．反过来也对．用符号表示为： 可以证明：不等式具有以下性质： 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质4 可乘性 ⇒ac>bc c的 符号 ⇒ac<bc 性质5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2) 同正 性质8 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2) 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 课前检测 1．下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2>0 B．lg(a2＋1)>0 C.>0 D．3a>0 解析：当a＝0时，A、B两项中的不等式不成立；当a<0时，C项中的不等式不成立；由指数函数的值域知D项中的不等式恒成立． 答案：D 2．若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于(　　) A．－<x<0或0<x< B．－<x< C．x<－或x> D．x<－或x> 解析：当x>0时，由0<<a得x>；当x<0时，由－b<<0得x<－.故原不等式等价于x<－或x>. 答案：D 3．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　) A．a2<b2 B．ab2<a2b C.< D.< 答案：C 4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________． 解析：∵0<<1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又∵f(m)>f(n)，∴m<n. 答案：m<n 5．对于实数a、b、c，判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac<bc； (2)若ac2>bc2，则a>b； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若a<b<0，则|a|>|b|； (5)若c>a>b>0，则>； (6)若a>b，>，则a>0，b<0. 解：(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac与bc的大小．故该命题是假命题． (2)∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴a>b.故该命题为真命题． (3)∵∴a2>ab.又∴ab>b2，∴a2>ab>b2.故该命题为真命题． (4)两个负数，离原点远的数小，绝对值反而大．故该命题为真命题． (5)∵c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，∴>，∴>. 故该命题为真命题． (6)由已知条件，得b－a<0，－>0，∴>0，∴ab<0，又a>b，∴a>0，b<0. 故该命题为真命题. 课中讲解 考点一．比较两数(式)的大小 例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 答案　B 解析　(作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p<q. 综上，p≤q.故选B. (2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小． 解　∵＝＝a－b， 又a>b>0，故>1，a－b>0， ∴a－b>1，即>1， 又abba>0，∴aabb>abba， ∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba. 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． 变式1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________． 答案　M>N 解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N. (2)若a>0，且a≠7，则(　　) A．77aa<7a