第一章 第二节 简单的常用逻辑用语-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第二节 简单的逻辑用语 知识回顾 全称量词与全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词． (2)全称命题：含有全称量词的命题． (3)全称命题的符号表示： 形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)． 存在量词与特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词． (2)特称命题：含有存在量词的命题． (3)特称命题的符号表示： 形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)． 充分条件与必要条件 （1）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p （2）从集合的角度： 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． 提示　若AB，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． （3） 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定 课前检测 1．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件． 2．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　) A．x<1 B．x>1 C．x>－1 D．x>3 答案　BC 3．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1， 即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立； 但x＝1能推出x(x－1)＝0成立． 故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4.（多选）（2020·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（ ） A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题 C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题 D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 【答案】BCD 【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误. 对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确; 对于C, “至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD，故答案为: BCD 5．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　充分不必要 6．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　必要不充分 7．函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 答案　m＝－2 课中讲解 考点一. 全称量词及存在性量词 例1　(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 答案　B 解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题． (2)下列四个命题： ①∃x∈(0，＋∞)，； ②∃x∈(0,1)，； ③∀x∈(0，＋∞)，x>； ④∀x∈，x<. 其中真命题的序号为________． 答案　②④ 解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题； 对于②，当x＝时，有成立，故②