第一章 第一节 集合-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习

第一节 集合 知识回顾 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x∉∅，∅⊆A ∅ 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝ {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅． (4)∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 课前检测 1.已知数集A＝{0,1,x＋2},那么x的取值集合为 (　　) A．{x} B．{x} C．{x} D．x∈R 答案：C 解析：因为集合的元素满足互异性,所以x＋2≠0且x＋2≠1,得x≠－2且x≠－1,故选C． 2.下列判断正确的命题个数为(　　) ①a∈{a}; ②{a}∈{a,b}； ③{a,b}⊆{b,a}; ④∅⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：①元素与集合的关系的表示方法,正确； ②两个集合之间的关系,不正确； ③正确； ④∅是任何集合的子集,正确,故选C． 3.集合A＝{1,2,3}的非空真子集的个数为(　　) A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 答案：B 解析：若一个集合的元素个数为n,则其子集个数为2n, 真子集的个数为2n－1,非空子集的个数为2n－1, 则非空真子集的个数为2n－2,故选B. 4.已知{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},则集合A的个数为 ____________ . 答案：8 解析：问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A的个数为8. 5.设全集U＝R,A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2＜x＜4},则A∩B＝ ____________；A∪B＝____________；A∪∁UB＝____________． 答案：{x|2＜x≤3}　{x|1≤x＜4}　{x|x≤3或x≥4} 解析：在数轴上分别表示出集合A,B,∁UB,即得∁UB＝{x|x≤2或x≥4}． 课中讲解 考点一.　集合的基本概念 例1.　若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值． 解题导引　解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性． 解　由{1，a＋b，a}＝{0，，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则： ①　 或② 由①得符合题意；②无解． ∴b－a＝2. 变式1.设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a，b. 解　由元素的互异性知， a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B， 得或解得a＝－1，b＝0. 例2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A. B. C．0 D．0或 解析：选D　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝. 变式2．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为(　　) A．(8，＋∞) B．[8，＋∞) C．(16，＋∞) D．[16，＋∞) 解析：选C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故选C. 考点二.　集合间的关系 例1.设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　) A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP 变式1.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．