第6讲 一元一次不等式的求解、一元二次不等式的求解-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第6讲 一元一次不等式的求解，一元二次不等式的求解 【基础知识】 1.一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的 值称为该不等式的解．一个不等式的解的全体所组成的集合称为 此不等式的解集．求不等式解集的过程称为不等式的求解，或 解不等式．将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到 不等式组．解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集 2.一元二次不等式的求解 【考点剖析】 考点一：一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 考点二：一元二次不等式的解法 例1．求下列不等式的解集： ； （2） ； ； ； . 【难度】★ 【答案】（1） （2） ． (-3 ，4) 例2．解不等式组： 3x -7x-10 0, ① 2x -5x+2 0 ② 【难度】★★【答案】 例3．解关于 的不等式 。 【难度】★★ 【答案】原不等式化为 例4．关于 的不等式组 的整数解的集合为 ，求实数 的取值范围。 【难度】★★ 【解析】解：原不等式组 由数轴可得： EMBED Equation.3 。 例5．已知一个一元二次不等式的解集为 . 若关于 的一元二次不等式为 ，求 、 的值。 若关于 的一元二次不等式为 ，求关于 的一元二次不等式 的解集。 【难度】★★ 【解析】解： (1)因为一元二次不等式为 的解集是 ， 所以 <0,且方程 的两个实根是 ，所以 (2)因为一元二次不等式 的解集是 ，所以 ,且 <0,得 ,所以，不等式 可转换为 ， 因为 <0,所以 ，使得不等式 的解集为 . 例6.在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x<1的解是全体实数，则实数m的取值范围是________． 【难度】★★ 【解析】由题意得不等式(x＋m)(2－x)<1，即x2＋(m－2)x＋(1－2m)>0对任意x∈R恒成立，因此Δ＝(m－2)2－4(1－2m)<0，即m2＋4m<0，解得－4<m<0. 例7．不等式 的解是全体实数，求实数 的取值范围． 【难度】★★ 【解析】若 ，不等式为 ，其解集为 若 ，不等式为 ，其解集显然不是全体实数，故 不符合条件． 若 ，不等式为二次不等式，有 解得 即 综上得， 考点三：含参数的不等式问题 例1．解不等式 . 【难度】★★ 【解析】解：∵ ∴当 即 时，解集为 ； 当 即Δ＝0时，解集为 ； 当 或 即 ,此时两根分别为 ， ，显然 , ∴不等式的解集为 【解析】按判别式 的符号分类，即 例2．解不等式 ， 【难度】★★ 【解析】解:原不等式可化为： ， 对应方程 的两根为 ， 当 时，即 ，解集为 ； 当 时，即 ，解集为 例3．解关于 的不等式： 【难度】★★ 【解析】当 时，原不等式化为 ，其解集为 当 时，有 ，原不等式化为 ，其解集为 当 时， 。原不等式化为 ，其解集是 当 时，原不等式化为 ，其解集是 当 时，原不等式化为 ，其解集是 【分析】由于字母系数 的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数 可正、可负，且对应二次方程的两个根2， 的大小也受 的影响，这些都应予以考虑． 例4．关于 的不等式 ( )的解集为 ,且 ,则 （　） A． B． C． D． 【难度】★★【答案】A 例5．已知关于 的不等式 的解是 ，求 . 【难度】★★ 【解析】 设 ， 则原不等式变为： ，其解的范围是2< t <6。 由 考点四：一元二次方程根的分布问题 例1．已知方程2(k+1) +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围． 【难度】★★ 【解析】要原方程有两个负实根，必须 ∴实数k的取值范围是{k|-2<k<-1或 <k<1}。 例2．已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围． 【难度】★★ 【解析】由 即 ，从而得 即为所求的范围． 例3．若关于 的方程 的两根均小于 ，求实数 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】 ， ． 例4．关于 的方程 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】设 ．由 ，解得 ． 所以，应选 ． 例5．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 【难度】★★ 【解析】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出