第5讲 等式与不等式的性质-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第5讲 等式与不等式的性质 【基础知识】 1．等式的性质 2.方程的解集 含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 3.一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． 4．一元二次方程根与系数的关系 5、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 【考点剖析】 考点一：等式的性质 考点二：方程的解集 考点三：一元二次方程的解集及根与系数的关系 （1）方程根个数的判断及应用 例1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程无实数根． 【解】　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0， 所以k<eq \f(1,3). (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0， 所以k＝eq \f(1,3). (3)因为方程有实根， 所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0， 所以k≤eq \f(1,3). (4)因为方程无实根， 所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>eq \f(1,3).　 例2．不解方程，判断下列方程的实数根的个数． (1)2x2－3x＋1＝0； (2)4y2＋9＝12y； (3)5(x2＋3)－6x＝0. 解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0， 因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0， 所以原方程有两个相等的实数根． (3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0， 因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0， 所以原方程没有实数根． （2）直接应用根与系数的关系进行计算 例3　若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根， 试求下列各式的值： (1)xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)； (2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)； (3)(x1－5)(x2－5)； (4)|x1－x2|. 【解】　x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， (1)xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. (2)eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(－2,－2 007)＝eq \f(2,2 007). (3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. (4)|x1－x2|＝eq \r(（x1－x2）2)＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(4＋4×2 007)＝eq \r(8 032)＝4eq \r(502). 例4.已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)的值． 解：由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3， 所以eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝2,1)eq \f(x＋xeq \o\al(2,2),x1x2) ＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2) ＝eq \f(（－6）2－2×3,3) ＝10. （3）应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 例5.　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋eq \f(1,4)k2＋1＝0，根据