暑假预习专题 第6讲 等式的性质与方程的解集（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第6讲 等式的性质与方程的解集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合 集合的表示方法 列举法与描述法 1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假， 发展逻辑推理的素养； 2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集； 3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。 学习重点：掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的 素养。 学习难点：解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。 1、等式具有以下性质: (1)传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ； (2)加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ； (3)乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 2、不等式的性质： (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3、常用方法： 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法： ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论； ②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论； ③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若 ，则 ；若 ，那么； 其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式的性质和一元一次方程（不等式）的解 1、用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式. 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么； （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ； （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 . 2、因式分解的常用公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ； （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ； （8）欧拉公式 . 3、次方差公式： 根据以上规律，可以归纳出乘法公式： （为非零自然数） 将等号左右两边倒一下得： （为非零自然数） 这个公式称为次方差公式； 由这个公式易得； 定理：若为正偶数，则与同时成立. 4、因式分解的常用方法：提去公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 5.含有未知数的等式称为方程： 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集； 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解 组成的集合，是一个集合；根本概念是不一样的. 【经典例题】 【例1】分解因式：________；________． 【答案】； . 【详解】=； ，故答案为：，. 【技巧归纳】将利用“十”字相乘法求解；将 转化为利用完全平方公式求解. 【例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以，所以；故答案为：5. 【技巧归纳】由题意列出方程组，即可得答案． 【例3】求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【详解】因为，则，当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为；综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 【技巧归纳】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【例4】（21-22高一上·上海奉贤·月考）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【答案】 【详解】由，得，， 得或，因为不等式组有且只有一个实数解，所以或， 解得或，所以实数的取值范围为，故答案为：. 【技巧归纳】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解， 可得或，从而可求出结果. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为， 则实数所满足的条件为 . 【答案】且【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为，所以消元后无解， 所以且，解得且；故答案为：且. 【练习2】（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P， 则a的取值范围是 . 【答案】【分析】把代入不等式即可求解. 【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是；故答案为：. 【练习3】已知的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】【分析】分析可知是方程的解，且有， 得出、的等量关系，化简不等式，即可得解. 【详解】因为的解集为，则， 所以，且，故， 不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为；故答案为：. 【练习4】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，求解即可． 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得，舍去； 当时，方程为，解得 综上，方程的解集为；故选：D. 【练习5】已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的 解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解. 【详解】由题意得，从而可知：，化简得：， 解之得：或，故解集为：，故D项正确；故选：D. 知识点02一元一次不等式的解 1、由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解, 叫做二元一次方程组的解. 2、我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的， 例如方程，方程组等，它们的解是不确定的． 像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组． 定理：如果、是互质的正整数，是整数，且方程 ① 有一组整数解、，则此方程的一切整数解可以表示为（为任意正整数） 证明：因为、是方程①的整数解，当然满足② 因此．这表明，也是方程①的解． 设、是方程①的任一整数解，则有③ ③-②得④ 由于（互质），所以｜，即，其中是整数．将代入④， 即得；因此、可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解． 对二元一次方程组的理解 （1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量；（2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值 分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解 (其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解. 【经典例题】 【例5】设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 【答案】3【详解】两式相减，得到， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集． 当时，方程的解为，解不是空集；综上，；故答案为：. 【易错提醒】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案. .【例6】不等式组的解集为 【答案】 【详解】由题意可得，，解可得，，故答案为： 【易错提醒】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可． 【例7】求的整数解． 【解析】　解法一：将方程变形得因为是整数，所以应是11的倍数； 由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为（为整数）. 解法二：先考察，通过观察易得：11×(-4)+15×(3)=1，所以：11×(-4×7)+15×(3×7)=7， 可取，．从而（为整数）可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式． 【易错提醒】二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同， 同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换， 就可化为同一形式． 【对点练习】 【练习6】求方程6x+22y=90的非负整数解． 【解析】因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45． ①由观察知， ，是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解， 所以必有由于是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能． 当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是，． 【练习7】是否存在整数a、b、c，满足，若存在，求出a、b、c的值； 若不存在，说明理由． 【答案】存在，a=3，b=2，c=2. 【解析】原式等价于，即， 故，解得. 【易错提醒】对原式进行整理化简，根据结果为，即可通过解方程组求得结果. 1．已知不等式组解为，则的值为 . 【答案】1【分析】根据已知求出的值即得解. 【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得， ∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2<x<3，所以且， ∴ a=3，b=4，∴；故答案为：1. 2.不等式的解为 ． 【答案】【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，所以原不等式的解为．故答案为：． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为， 则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式， 即可得出结论.【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得，当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为.故原命题为假命题； 故答案为：假. 4．已知，方程的解集为 . 【答案】【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可. 【详解】当时，则； 当时，则； 当时，则；综上所述，原方程的解集为；故答案为：. 5．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求．【详解】因为恒成立， 即恒成立，所以，解得，，，， 所以；故答案为：． 6．设，则方程的解集为 . 【答案】【分析】按题意分类讨论即可求解. 【详解】时，原式，不合题意； 时，原式； 时，原式即恒成立； 时，原式，不合题意；故，故答案为：. 7．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点. 【详解】等式恒成立，即恒成立， 则有，解之得，故，故答案为：2. 8．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；故选：. 9．设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】答案见解析．【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解. 【详解】方程转化为，当时，解集为； 当，时，解集为R；当，时，解集为R；当，时，解集为． 10．若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据已知条件求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：因为，，b，， 所以联立方程组，求得，，，从而，，， 所以当a，b异号时，取最小值为．故选：B． 11．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是 希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对，因为 所以，当或时，等号是不能成立的， 所以即， ， （1）当时，即； （2）当时，即或； （3）当时，即； 综上所述，共有四组解，故选：D. 12.设a、b、c、d都是自然数，且，求d－b的值． 【答案】269 【解析】设，，所以，，，, 因为，即，因为17是质数，、是自然数， 且，所以，得，所以． 13.求方程7x+19y=213的所有正整数解． 【答案】和 【分析】首先把原方程中的用含的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值． 【解析】用方程 ①，的最小系数7除方程①的各项， 并移项得： ②，因为，是整数，故也是整数， 于是，则 ③，令，则 ④， 由观察知，是方程④的一组解．将，代入③得．， 代入②得．于是方程①有一组解，，所以它的一切解为， 由于要求方程的正整数解，所以， 解不等式得只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：和． 14．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】【分析】首先，求解命题中涉及到的不等式，然后求解命题中涉及到的 一元二次不等式的解集，最后，结合是的充分不必要条件，限定的取值情形，从而得到实数的 取值范围．【详解】由命题，即， ，，，， ，，，是的充分不必要条件， 或，即或，，所以实数m的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第6讲 等式的性质与方程的解集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合 集合的表示方法 列举法与描述法 1.掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假， 发展逻辑推理的素养； 2.会用集合表示一元一次方程、二元一次方程和方程组的解集； 3.解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。 学习重点：掌握等式的性质，会用等式的性质判断与等式性质有关的命题的真假，发展逻辑推理的 素养。 学习难点：解决含字母参数的问题时，感悟分类讨论思想。 1、等式具有以下性质: (1)传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ； (2)加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ； (3)乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 2、不等式的性质： (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3、常用方法： 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法： ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论； ②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论； ③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若 ，则 ；若 ，那么； 其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 等式的性质和一元一次方程（不等式）的解 1、用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式. 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么； （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ； （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 . 2、因式分解的常用公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ； （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； （5）三数和平方公式 ； （6）两数和立方公式 ； （7）两数差立方公式 ； （8）欧拉公式 . 3、次方差公式： 根据以上规律，可以归纳出乘法公式： （为非零自然数） 将等号左右两边倒一下得： （为非零自然数） 这个公式称为次方差公式； 由这个公式易得； 定理：若为正偶数，则与同时成立. 4、因式分解的常用方法：提去公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 5.含有未知数的等式称为方程： 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集； 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解 组成的集合，是一个集合；根本概念是不一样的. 【经典例题】 【例1】分解因式：________；________． 【技巧归纳】将利用“十”字相乘法求解；将 转化为利用完全平方公式求解. 【例2】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【技巧归纳】由题意列出方程组，即可得答案． 【例3】求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【技巧归纳】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【例4】（21-22高一上·上海奉贤·月考）已知关于的不等式组：有且只有一个 实数解，则实数的 （结果用集合或区间表示）. 【技巧归纳】先由求出的值，再由不等式组有且只有一个实数解， 可得或，从而可求出结果. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为， 则实数所满足的条件为 . 【练习2】（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P， 则a的取值范围是 . 【练习3】已知的解集为，则不等式的解集为 . 【练习4】（24-25高一上·上海青浦·期中）设，求方程的解集（    ） A． B． C． D． 【练习5】已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的 解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 知识点02一元一次不等式的解 1、由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解, 叫做二元一次方程组的解. 2、我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的， 例如方程，方程组等，它们的解是不确定的． 像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组． 定理：如果、是互质的正整数，是整数，且方程 ① 有一组整数解、，则此方程的一切整数解可以表示为（为任意正整数） 证明：因为、是方程①的整数解，当然满足② 因此．这表明，也是方程①的解． 设、是方程①的任一整数解，则有③ ③-②得④ 由于（互质），所以｜，即，其中是整数．将代入④， 即得；因此、可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解． 对二元一次方程组的理解 （1）方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量；（2）通过解方程组得到一组数值，将这组数值 分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解 (其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解. 【经典例题】 【例5】设，若关于x与y的二元一次方程组的解集为空集，则 . 【易错提醒】两式相减，得到，进而分，两种情况讨论求解即可得答案. .【例6】不等式组的解集为 【易错提醒】由一元一次不等式的解法分别求解取交集即可． 【例7】求的整数解． 【易错提醒】二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同， 同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的；将解中的参数做适当代换， 就可化为同一形式． 【对点练习】 【练习6】求方程6x+22y=90的非负整数解． 【练习7】是否存在整数a、b、c，满足，若存在，求出a、b、c的值； 若不存在，说明理由． 【易错提醒】对原式进行整理化简，根据结果为，即可通过解方程组求得结果. 1．已知不等式组解为，则的值为 . 2.不等式的解为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为， 则“关于的不等式的解集是 ”是 命题（填“真”或“假”） 4．已知，方程的解集为 . 5．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 6．设，则方程的解集为 . 7．若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 8．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．设a、，求关于x的方程的解集． 10．若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是 希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 12.设a、b、c、d都是自然数，且，求d－b的值． 13.求方程7x+19y=213的所有正整数解． 14．已知，，若命题p是q的充分不必要条件， 求实数m的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $