第4讲 反证法-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第4讲 反证法 数学家哈代曾经说过：“反证法是数学家最好的武器之一”．在这小节我们学习如何用反证法证明一些命题． 在前面已经提到，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了． 但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β．但有时直接验证这一点并不是一件容易的事。 【基础知识】 反证法的定义： 反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【考点剖析】 例1．（1）想一想，我们接触过哪些数学问题是用反证法证明的？在实际生活中有没有这样的例子？请举出一例。 【答案】 比如线面平行的判定定理的证明等 生活中的反证法举例： 人的从众心理：这个餐厅的菜很难吃。假设好吃，那么周末晚上一生意很好，而实际没有顾客，于是矛盾，所以假设不成立，所以难吃. （2）设 均为正实数，反证法证明： 至少有一个不小于2. 【解析】 【分析】 假设结论反面成立，即 全部小于2.然后推理出矛盾结论． 【详解】 证明：假设 全部小于2.即 ， 则 ，① 又 EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 时等号成立， 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真． 所以 至少有一个不小于2. 例2．.试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 　　 （2)a大于2。 （3）a小于2。 　　 （4）至少有2个 （5）最多有一个 　 　（6）两条直线平行。 【答案】 （1）a不是实数。 　　 （2)a小于等于2。 （3）a大于等于2。 　　 （4）至多有1个 （5）最少有两个 　 　 （6）两条直线不平行。 例3．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步反设：如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形是等腰三角形。　 例4．已知：一个整数的平方能被2整除 求证：这个数是偶数。 证明：假设这个整数不是偶数，则由题意可知该数为奇数， 设该整数为2n+1，则(2n+1)2=4n2+4n+1， 显然不能被2整除，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以这个整数是偶数。 （1）否定结论；（2）推出矛盾；（3）结论成立 思考：反证法的步骤是什么？ （四）当堂检测 1．求证：一个三角形中，最大的角不小于600.. 【解析】 试题分析：利用反证法证明命题. 试题解析: 证明：假设 的三个内角中最大的角小于60°，即 ， 则 ，这与三角形内角和为180°矛盾， 所以假设错误，原命题成立． 2．已知 .求证： ， ， 中至少有一个不小于6. 【解析】 分析：一般利用反证法分析解答. 详解：假设 ， ， 都小于6， 即 ， ， . . EMBED Equation.DSMT4 这与假设 相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法. 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【真题演练】 一、单选题 1．（2021·上海高一期末）用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为 A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除 C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除 【答案】C 试题分析：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立． 而命题“a与b都不能被5整除”的否定为“a，b至少有一个能被5整除”