第2讲 集合的运算-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第2讲 集合的运算 【基础知识】 1.交集：由集合 与集合 的所有公共元素组成的集合叫做 与 的交集，记作“ ”，读作“A交B”，即 ① ；② ， ；③ ； ④ ；⑤若 ，则 ； 文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家John Veen命名） 2.并集：由所有属于集合 或者属于集合 的元素组成的集合叫做集合 与 的并集，记作“ ”，读作“A并B”，即 ① ；② ， ；③ ； ④ ；⑤若 ，则 ； 3.补集： SHAPE \* MERGEFORMAT 4集合的综合运算 集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。 5.集合的新定义运算 在对前面集合的交、并、补运算理解的基础上新定义一些集合的运算，根据新定义的内涵解决集合的运算问题 【考点剖析】 考点一：交集 例1．求下列两个集合的交集． (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}； (2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}． 【难度】★ 【答案】(1)如图所示，A∩B＝{1，2，3}． (2)结合数轴(如图所示)得： A∩B＝{x|－5<x<－2}． 例2．（2021·上海高一期末）已知集合 ，则 __________． 【答案】 【分析】先求集合 ，再根据交集定义求 . 【详解】 ， ，所以 . 故答案为： 例3．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设集合 ， ，则满足 ，且 的集合S的个数是___________. 【答案】 【分析】求出集合 的子集个数和满足 ，且 的集合S的个数即可得到答案. 【详解】集合 中元素的个数为2000，其子集个数为 集合 ，满足 ，且 的集合S的个数是 所以满足 ，且 的集合S的个数是 故答案为： 例4．（2021·上海交大附中高一期末）设集合 ，且 ，则实数 的取值范围是____. 【答案】 【分析】由题意 ，可得 是集合 的子集，按集合 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】由题意 ，可得 是集合 的子集， 又 ， 当 是空集时，即方程 无解，则满足 ，解得 ，即 ，此时显然符合题意； 当 中只有一个元素时，即方程 只有一个实数根，此时 ，解得 ，则方程的解为 或 ，并不是集合 的子集中的元素，不符合题意，舍去； 当 中有两个元素时，则 ，此时方程 的解为 ， ，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故 ；当 时，可解得 ，符合题意.综上 的取值范围为 . 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法： 1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解； 2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； 3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到. 例5．已知集合 ， ，求 ； 【难度】★★ 【答案】 例6．已知集合 ， ，求 ； 【难度】★ 【答案】 【解析】 表示方程组 的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合 例7．设 ，若 ，求实数 的取值范围 【难度】★★ 【答案】 例8．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值 【难度】★★ 【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去． 当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意． 例9．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值； 【难度】★★ 【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}． 由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4. ①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1. ②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1， 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意； 当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也符合题意． ③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， 得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1， 当a＝1时，②中已讨论，符合题意； 当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意． 综合①②③得a＝1或a≤－1． 考点二：并集 例1．（2020·上海南汇