2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测

专题17复数复习与检测 学习目标 1.掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念， 2.会进行复数的四则运算法则，会求复数的平方根， 3.会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数的模， 4.会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论的结论， 5.会求复数的模的最大值与最小值。 6.会在复数集内解实系数一元二次方程。 知识梳理 重点1 复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 实部与实部、虚部与虚部对应相等 共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 实数的共轭复数是它本身 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数 的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ 复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 运算名称 符号表示 语言叙述 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i 把实部、虚部分别相加减 乘法 z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1 除法 ＝＝＝＋i(c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (4)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数． 模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝. 重点2 实系数的一元二次方程： 设一元二次方程为（、、且）。 因为，所以原方程可以变形为。 配方得，，即 。 （1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根 ； （2）若，即，此时方程有两个相等的实数根； （3）若，即，方程没有实数根。 因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根 。 因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。 特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根 。 注：虚根成对定理 若虚数是实系数一元（）次方程 （） 的根，那么也是这个方程的根。 例题分析 例1．已知，则“”是“z为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】 为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立； z为纯虚数，故必要性成立； 故答案选：B 例2．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】 设,因为,所以, 所以将代入方程整理 ， 因为关于的方程有实根， 所以 所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以； 当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件. 综上，或. 故这样的复数的个数为个. 故选：C 跟踪练习 1．若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ） A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i 2．(2+i)-(1+2i)= （ ） A． B． C． D． 3．已知复数，i为虚数单位，则为（ ） A． B． C． D． 4．已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（ ） A． B． C． D． 5．设复数z满足|z﹣1|=1，则z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A．(x+1)2+y2=