2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题09等差数列与等比数列复习与检测

专题09等差数列与等比数列复习与检测 学习目标 1.数列的概念， 2.等差数列与等比数列的定义， 3.等差中项与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。 知识梳理 重点1 等差数列、等比数列的基本运算（定义法） 1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) 等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d； 等比数列的求和公式：Sn＝ 重点2 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 重点3 等差数列、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2.前n项和的性质：①对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外). ②对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. 重点4 数列的通项的求法 1、作差法； 2、作商法； 3、累加法； 4、累乘法； 5、构造法。 数列求和的常用方法 1、.倒序相加法； 2、错位相减法； 3、裂项相消法，.常用裂项形式有： ①； ②； 例题分析 例1．设数列是等差数列，是数列的前项和，，，则（ ） A．18 B．30 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 因数列是等差数列，由等差数列的性质知：， 而，则，等差数列公差， 首项，则. 故选：D 例2．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为， 由条件可知：， 又由图形可知：，所以， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 所以最小的正三角形的面积为：， 故选：A. 跟踪练习 1．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 3．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 4．数列的前项和为，，且对任意的都有，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（ ） ①存在实数，使得为等差数列； ②存在实数，使得为等比数列； ③若存在使得，则实数唯一. A．① B．①② C．①③ D．①②③ 5．已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（ ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列 6．是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为；③数列中或者任意一项不为；或者无穷多项为；④数列中一定不可能出现；⑤数列中一定不可能出现；其中正确的命题是（ ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 7．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”. （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由； （2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值； （3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值. 8．在数列中，已知，()． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前项和为. 求使得的整数的最小值； （3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由． 9．已知无穷数列，对于任意给定的正整数，设不等式对任意恒成立时的取值集合为. （1），求集合； （2）