第三章 数系的扩充和复数的引入【知识梳理】-2020-2021学年高二数学（文）下学期期末专项复习（人教A版选修1-2）

2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（人教A版选修1-2） 知识梳理 第3章 数系的扩充和复数的引入 一、复数的概念 1、虚数单位： (1)它的平方等于，即； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； (3)与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； (4)的周期性：、、、。 2、数系的扩充：复数。 3、复数的定义：形如()的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。 4、复数的代数形式： 通常用字母表示，即()，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 5、复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数()， 当且仅当时，复数()是实数， 当时，复数叫做虚数， 当且时，叫做纯虚数， 当且仅当时，就是实数。 6、复数集与其它数集之间的关系：。 7、两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。 这就是说，如果、、、，那么、。 二、复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 复数()与有序实数对是一一对应关系。 建立一一对应的关系。点的横坐标是，纵坐标是，复数()可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数复平面内的点。 这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 3、复数的模：复数()的模就是其在复平面内的点到原点的距离。。 4、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 复数()的共轭复数为()。 虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 三、复数的四则运算 设、 (、、、)是任意两个复数： 1、复数与的和的定义：。 (1)复数的加法运算满足交换律：。 (2)复数的加法运算满足结合律：。 2、复数与的差的定义：。 3、乘法运算规则：， 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律： (1)； (2)。 4、复数除法的定义： 满足的复数()叫复数除以复数的商， 记为：或者