第三章 数系的扩充和复数的引入【专项训练】-2020-2021学年高二数学（文）下学期期末专项复习（人教A版选修1-2）

2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（人教A版选修1-2） 第三章 数系的扩充和复数的引入 一、单选题 1．复数（其中为虚数单位），则的实部和虚部的和为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】 由复数， 知， 则． 故选B． 2．若(1+i)z=|1+i|，则z=（ ） A．1 B．2i C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 3．复数满足，下面各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由， 则， 所以，故A、B错误； ，故C错误； ，所以. 故选：D 4．设复数（i是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】 解：因为复数，则， 所以 ， 故复数在复平面内对应的点为，在第一象限． 故选：A 5．已知，若(为虚数单位)，，则=（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】 由，又， ∴，而，可得. 故选：B 6．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【详解】 由复数在复平面内对应的点为，则 则， 故选：A 7．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为，所以， 所以． 故选：B． 8．定义：若复数与满足，则称这两个复数互为倒数.已知复数，则该复数的倒数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，所以，， 故选：A. 9．若为纯虚数，则（ ） A．-5 B．5 C．-7 D．7 【答案】C 【详解】 依题意，， 因为为纯虚数，故，解得. 故选：C． 10．复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】 设复数， 由，可得，所以，解得， 所以. 故选：C. 二、填空题 11．已知i为虚数单位，且，则复数z的虚部为___________. 【答案】 【详解】 ∵， ∴， ∴复数z的虚部为． 故答案为：. 12．已知复数满足，则___________. 【答案】 【详解】 解：∵ ∴， 故答案为：1+2i. 13．已知复数是纯虚数(其中是虚数单位)，则实数的值为___________. 【答案】 【详解】 解：因为复数， 由于它为纯虚数，所以，且，则， 故答案是：. 14．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________. 【答案】(答案不唯一) 【详解】 因为把化成指数式需满足， 又, 如当时，， 故答案为：(答案不唯一) 15．设复数z满足，则___________. 【答案】 【详解】 设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为：. 三、解答题 16．取何值时，复数. （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 【答案】（1）；（2）且；（3）或. 【详解】 （1）由为实数可得且，解得； （2）由为虚数可得且，解得且； （3）由为纯虚数可得且，解得或 17．已知复数，(，i是虚数单位). （1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数m的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 解：（1）由题意得，， 因为在复平面内对应的点落在第一象限，所以，解得. （2）由得，即 ， 所以，解得. 18．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：若复数， ．求方程的根． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 【详解】 （1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有，解得， ∴方程的根为 （2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有，解得， ∴方程的根为 （3）选择条件③：由题意，，解得， ∴方程的根为 19．(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值； (2)已知复数，，，求． 【答案】(1)12；(2). 【详解】 (1)因为是方程的一个根， ∴ ∴，而 ∴ ∴，∴ (2)∵，， ∴， ∴ 20．已知复数z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R）. （1）当a＝1，b＝2，c＝3，d＝4时，求|z1|，|z2|，|z1•z2|； （2）根据（1）的计算结果猜想|z1|•|z2|与|z1•z2|的关系，并证明该关系的一般性. 【答案】（1），5，；（2），证明见解析. 【详解