作业14 实系数一元二次方程-2021年高一数学暑假作业（沪教版2020必修第二册）

作业14 实系数一元二次方程 一、单选题 1．（2020·上海高二课时练习）设 ， 是非零复数，且满足 ，则 与 的关系是（ ）． A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】将方程两边同时除以 ，化为 的一元二次方程，利用求根公式求出 ，再求出其模，即可得到答案. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题. 2．（2020·上海高二课时练习）设 ，方程 的根有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设 ，代入方程得 解得 或 ，所以方程 的根有3个. 故答案选：C 【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题. 3．（2020·上海高二课时练习）已知关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． 或 D．不存在 【答案】A 【分析】关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ，所以 ，可得 ， 利用根与系数的关系可得 ，设 ，则 ，根据 ，可得 可求得答案. 【详解】关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ， ，所以 设 所以 ，即 ，即 由 ，即 ，解得 或 . 又 ， ，则 ，所以 所以 故选：A 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题 4．（2020·上海高二课时练习）若实系数方程 有虚根，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【分析】由已知可得 ，求解即可. 【详解】 实系数方程 有虚根， . 故答案为： . 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题. 5．（2020·上海高二课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________. 【答案】 【分析】设 ，利用 列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设 ，依题意有 ， 即 ，所以 .将 代入 ，得 ；将 代入 ，解得 ；将 代入 ，得 ，结合 解得 或 .所以对应的数为 、 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 三、解答题 6．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次方程 的两根为x1与x2，求下列各式的值： （1）x12+x22； （2）|x1-x2|. 【答案】（1） （2） 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可. 【详解】因为一元二次方程 的两根为x1与x2， 所以 ， ， （1）x12+x22 ， （2）|x1-x2| . 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题. 7．（2020·上海高二课时练习）已知复数 是实系数一元二次方程 的一个根，向量 ， ，求实数 和 ，使得 ． 【答案】 ， 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出 ，再根据向量共线可求得结果. 【详解】∵ 是实系数一元二次方程 的一个根，∴ 也是方程的根． 则 ， ． ∴ ， 由 ，得 ． ∴ ．∴ . 故答案为： ， . 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题. 8．（2020·上海市七宝中学高二期末）已知复数 是实系数一元二次方程 的两根，且复数 在复平面内对应的点在第一象限，若 ，其中 是虚数单位. （1）求复数 ； （2）若复数 满足 ，求 的最大值和最小值. 【答案】（1） ；（2）最大值6，最小值4； 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可； （2）根据 的几何意义，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为 ，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根， 因此复数 互为共轭复数，因为复数 在复平面内对应的点在第一象限， 所以设 ，则 ， 所以 ， 所以 ； （2）因为复数 满足 ，设 ，所以 ， 所以复数 在复平面上对应的点在单位圆 上， 表示点 到圆 上一点的距离， 显然 的最大值为 ， 最小值为 . 所以 的最大值6，最小值4. 9．（2020·上海高二课时练习）方程 的两根在复平面内对应的点之间的距离是 ，求实数 的值． 【答案】 或 或 【分析】设方程的两根为 ， ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是 ，由复数模的性质可得 ，利用根与系数的关系式代入，可得到关于 的方程，解方程可求 的值. 【详解】设方程的两根为 ， ， 则 ， 由韦达定理可得 ． 当 EMBED Equation.DSMT4 ； 当 或 . 【点睛】本题考查了复数的几何意义以