作业01 空间向量与立体几何-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业01 空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知长方体 ，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项. 【详解】当长方体 为正方体时，根据正方体的性质可知： ， 所以 、 、 . 根据长方体的性质可知： ，所以 与 不垂直，即 一定不为 . 故选：C 2．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知三条直线 ， ， 满足： 与 平行， 与 异面，则 与 （ ） A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交 【答案】C 【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理即可得到 与 不可能平行. 【详解】如图所示： 与 可能异面，也可能相交，不可能平行．用反证法证明一定不平行，假设 ，又 ，则 ，这与已知 与 异面矛盾，所以假设不成立，故 与 不可能平行. 故选：C. 【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础题． 3．（2020·上海高三二模）如图，正方体 中， 、 分别为棱 、 上的点，在平面 内且与平面 平行的直线（ ） A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在 【答案】C 【分析】设 平面 ，且 ，可证明 平面 ，从而可得正确的选项. 【详解】设 平面 ，且 ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，显然满足要求的直线l有无数条. 故选：C. 【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题. 4．（2020·上海高三二模）在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论. 【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交. ∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 二、填空题 5．（2021·上海高三二模）已知球的主视图的面积为 ，则该球的体积为___________. 【答案】 【分析】由球的主视图的面积可求出球的半径，从而可求出球的体积 【详解】解：设球的半径为 ，则由题意可得 ，解得 ， 所以球的体积为 ， 故答案为： 6．（2021·上海市控江中学高三三模）若一个圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】利用圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积． 【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是 ， 因为正三角形的面积为 ， 所以 ， ， 所以圆锥的底面半径 ， 圆锥的母线 ， 这个圆锥的表面积是： 故答案为： ． 7．（2020·上海市洋泾中学高三期中）表面积为 的球的体积为__________. 【答案】 【分析】先求出半径，再利用公式可求体积. 【详解】 ， 故答案为： . 8．（2020·上海高三一模）在△ 中， ， ， ，将△ 绕边 所在直线旋转一周得到几何体 ，则 的侧面积为___________. 【答案】 【分析】易得旋转后得到的几何体是一个以AB为半径，以AC为高的圆锥，再求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解. 【详解】如图所示： 因为在△ 中， ， ， ， 所以所得圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为 ， 所以其侧面积为 ， 故答案为： 9．（2020·上海市建平中学高三月考）已知空间向量 ， ，则 与 的夹角为______. 【答案】 【分析】计算出 ，由此可得出 与 的夹角. 【详解】由已知条件可得 ， ，因此， 与 的夹角为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 10．（2020·上海高三月考）已知 ､ 是球心为 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为 ， ， ，则 ､ 两点的球面距离为_________. 【答案】 【分析】由题意利用空间向量求出球心角 ，再求出球的半径，然后利用球面距离公式求解即可． 【详解】解：由题意，球的半径 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ∴ ､ 两点的球面距离 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查空间向量的数量积的应用，考查球面距离公式，属于基础题． 三、解答题 11