作业07 复数-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业07 复数 一、单选题 1．（2019·上海高二期末）在复数范围内，多项式 可以因式分解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代数式化为 ，然后利用平方差公式可得出结果. 【详解】 ，故选A. 【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题. 2．（2019·上海曹杨二中高二期末）若 是关于 的实系数一元二次方程 的一个根，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】由题意可知，关于 的实系数一元二次方程 的两个虚根分别为 和 ，然后利用韦达定理可求出实数 与 的值. 【详解】由题意可知，关于 的实系数一元二次方程 的两个虚根分别为 和 ， 由韦达定理得 ，解得 . 故选B. 【点睛】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 3．（2019·上海高二期末）已知关于 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是 ，则这个方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到方程的两复数根为 ， ( 为虚数单位)，求出 ， ，根据选项，即可得出结果. 【详解】因为方程的根在复平面内对应的点是 ， 可设根为： ，( 为虚数单位)，所以方程必有另一根 ， 又 ， ， 根据选项可得，该方程为 . 故选A 【点睛】本题主要考查复数的方程，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型. 4．（2019·上海复旦附中高二期末）已知两个复数 , 的实部和虚部都是正整数,关于代数式 有以下判断:①最大值为2；②无最大值;③最小值为 ；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】设两个复数 , , 在复平面内对应点 ,利用平面向量的加法的几何意义以及平面向量的数量积可以判断出 的最值情况. 【详解】设两个复数 , , 在复平面内对应点 ,因此有： 因为, 复数 , 的实部和虚部都是正整数,所以 , (当且仅当 ),故 ,假设 有最小值,则 ,显然对于 也成立,于是有 这与 相矛盾,故不存在最小值； 对任意正整数 , , , ,故 没有最大值,因此②④说法正确. 故选：C 【点睛】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力. 二、填空题 5．（2019·上海市宜川中学高二期末）若复数 ， ，（ 为虚数单位）则实数 __________． 【答案】 【分析】由题得 ，解方程即得解. 【详解】由题得 , 所以 . 故答案为 【点睛】本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．（2019·上海市宜川中学高二期末）已知实数 ， 满足条件 ，复数 （ 为虚数单位），则 的最小值是_______． 【答案】 【分析】先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将 的最小值转化成定点与区域中的点的距离最小的问题利用图形求解． 【详解】如图，作出 对应的区域，由于 为虚数单位）， 所以 表示点 与 两点之间的距离， 由图象可知 的最小值为 到直线 的距离， 即 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，考查复数的几何意义，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键． 7．（2019·上海高二期末） 的平方根是______． 【答案】 【分析】设 的平方根为 ，由 列方程组，解方程组求得 . 【详解】设 的平方根为 （ 为实数），故 ，所以 ，解得 ， 或 ，故 . 故答案为： . 【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题. 8．（2019·上海高二期末）复数 （ 是虚数单位）的虚部是______． 【答案】 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 ,即可求得虚部. 【详解】 复数 的虚部是: . 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题. 9．（2019·上海复旦附中高二期末）化简 ______. 【答案】 【分析】利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力. 10．（2019·上海复旦附中高二期末）复数 的虚部是______. 【答案】 【分析】利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部. 【详解】令 , , 得, , . 故答案为： 【点睛】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前 项和公式,考查了