专题3.3 复数【易错题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题3.3 复数【易错题型专项训练】 一、单选题 1．（2019·上海高二期末）定义：复数 与 的乘积 为复数 的“旋转复数”．设复数 对应的点 在曲线 上，则 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 可得: .因为复数 与 的乘积 为复数 的“旋转复数,可得 , 的“旋转复数”对应的点 ,由坐标变换,即可得 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】 复数 对应的点 在曲线 上 设 可得: 复数 与 的乘积 为复数 的“旋转复数 ┄① 设 的“旋转复数”对应的点 可得: 即 ┄② 将②代入①得: 即: 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键. 2．（2018·上海市淞浦中学高二期末）在复数范围内，有下列命题： （1）若 是两个复数，则 一定是实数 （2）“ ”是“ ”的充分非必要条件 （3）方程 的根是 （4） 则其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设 （ ），则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，①正确； 设 ，若 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 反之，若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ， ，∴ ．应是充要条件，②错误； 方程 的根是 ，③正确； 是复数， 可能是虚数，但 是复数的模，一定是实数，④错误， ∴错误命题有2个． 故选B． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设 ，然后代入进去进行检验证明． 3．（2018·上海师大附中高二期末）已知 ， ，则 对应的点 的轨迹为（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点 的轨迹. 【详解】 的几何意义为复数 对应的点 到点 和点 的距离之和为 ，即 ，另一方面，由三角不等式得 . 当且仅当点 在线段 上时，等号成立. 因此，点 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．（2019·上海理工大学附属中学高二期末）若复数 满足 ，则复数 在复平面上所对应的图形是 A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义知，复数 对应的动点P到 对应的定点 的距离之和为定值2，且 ，可知动点的轨迹为线段. 【详解】设复数 ， 对应的点分别为 , 则由 知： , 又 ， 所以动点P的轨迹为线段 .故选D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题. 5．（2019·上海市川沙中学高二期末）若实系数一元二次方程 有两虚数根 ，且 ，那么实数 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得： ，由此可得 的 表示形式，根据 即可求得 的值. 【详解】因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，解得： . 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程 ，有两虚根为 ，注意此时的 ，因此在写方程根时应写成： 而不能写成了 . 6．（2019·上海市川沙中学高二期末）在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ） A．若 为实数，则 B．若 ，则 为实数 C．若 为实数，则 为实数 D．若 为实数，则 为实数 【答案】C 【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C的对错. 【详解】设 ，则 ， A．因为 ，所以 ，所以 且 ，正确； B．因为 ，所以 ，所以 ，正确； C． 为实数对 （复数集）均满足，所以 可以是实数，也可是虚数，错误. D．因为 为实数，所以 ，所以 也是实数，所以 为实数，正确. 故选C. 【点睛】复数判断的常用结论： （1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数； （2）实数的共轭复数仍是实数； （3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数. 7．（2019·上海市进才中学高二期末）下列关于复数 的四个命题中，正确的个数是 （1）若 ，则复数 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若 ，则复数 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若 ，则复数 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若 ，则 的取值范围是 A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】（1）根