专题2.3 复数【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）

专题2.3 复数【章节复习专项训练】 【考点1】 ：复数的概念 例题1．（2021·上海交大附中高二期末）设复数 (其中 ， 为虚数单位)，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】本题首先可根据复数 为纯虚数得出 以及 ，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果. 【详解】若复数 是纯虚数，则 ， ， 则 不能证得 为纯虚数， 为纯虚数可以证得 ， 故“ ”是“ 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B. 【变式1】（2021·上海交大附中高二期末）若方程 有实数根，则实数k的取值是____________． 【答案】 【分析】将方程整理为： ，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出 的值. 【详解】因为 有实数根，所以 有实根， 所以 ，所以 ，所以 ， 故答案为： . 【考点2】 ：复数的坐标表示 例题2.（2021·上海复旦附中高二期末）若复数 ， 满足 ， ，则 的值是______. 【答案】 【分析】设复数所对应的向量分别为 ， ，根据 ， ，利用平面向量的模的运算，由 ，得到 ，再由 求解. 【详解】设复数所对应的向量分别为 ， 因为复数 ， 满足 ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 ， 解得 所以 的值是 . 故答案为： 【变式1】（2021·上海市西南位育中学高二期末）设 是复平面的原点，满足 的复数在复平面上所对应的点构成集合 ，在 中任取不同的两点 和 ，则 的最大值是_____________. 【答案】 【分析】根据 可以知道复数 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合 ，这样可以确定 的最大值. 【详解】由 可知，复数 表示在复平面内到 两点的距离之和为 ，而 ，所以复数 表示的线段 ，因此集合 是表示线段 上的点，如下图所示： 显然当 时， 有最大值，最大值为 . 故答案为： 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题. 【变式2】（2021·上海中学高二期末）已知关于 的方程 有实数根，求复数 的模的最小值. 【答案】 【分析】根据题意，设 ，且 ，得到 ，根据复数模的计算公式，得到 ，进而可求出其最值. 【详解】由题意，可设 ，且 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故 【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型. 【考点3】 ：复数的运算 例题3．“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 时，方程为 ，只有实根，无虚根，不充分， 一元二次方程 有虚根，则 ， ，是必要的， 因此是必要不充分条件． 故选：B． 例题4.如果复数 是实数，则实数 ________． 【答案】 【分析】利用复数的四则运算法则将 化简为 的形式，结合实数的定义即可求解. 【详解】由题意可得， ，因为复数 是实数，所以 ，解得 . 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的概念与分类，属于基础题. 例题5.函数 （ ， 是虚数单位）的值域可用集合表示为______． 【答案】 【分析】根据复数的运算性质可函数的值域. 【详解】 ， 故答案为： . 例题6.设 为虚数单位，则 的虚部是_________. 【答案】 【分析】利用复数除法的运算法则化简 ，再利用虚部的定义求解即可. 【详解】因为 ， 所以 的虚部是 ， 故答案为： . 【变式1】．若复数 满足方程 ，则 ______. 【答案】 【分析】首先设 ，再计算 ，根据实部和虚部的数值，列式求复数.. 【详解】设 ，则 ， 则 ，解得： ，所以 故答案为： 【变式2】复数 的虚部为____________． 【答案】1 【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数 ，然后即可判断出复数的虚部. 【详解】因为 ，所以复数的虚部为 ， 故答案为： . 【变式3】若 是关于x的实系数方程 的一根，则 ________． 【答案】0 【分析】将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案. 【详解】由已知得 ,整理得 , 得到 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算和复数相等的条件，关键是将方程的根代入方程进行运算化简. 【变式4】已知 是关于 的实系数方程 的一个根,则 ____________． 【答案】5 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质和根与系数关系可以求出 的值. 【详解】因为 是关于 的实系数方程 的一个根,所以 也是关于 的实系数方程 的一个根,根据根