作业06 抛物线的标准方程和性质-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业06 抛物线的标准方程和性质 一、单选题 1．（2018·华东师范大学第一附属中学高二期末）若动圆的圆心在抛物线 上，且与直线 相切，则此圆恒过定点 A． B． C． D． 【答案】C 试题分析：直线 为抛物线的准线,由抛物线定义知点 到直线 的距离与到点 的距离相等，因此此圆恒过定点 . 考点：1.抛物线的定义；2.圆的定义. 2．（2019·上海市民立中学高二期末）平直角坐标系内，到点 和直线 距离相等的点的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】判断定点 与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹 【详解】因为点 位于直线 上， 所以动点的轨迹为过 点与直线 垂直的直线． 故选： ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，逻辑推理能力，考查计算能力．注意本题与抛物线定义的区别，易错选 ． 二、填空题 3．（2020·上海市第二中学高二期末）抛物线 的准线方程为_______. 【答案】 【分析】由抛物线方程求出 ，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为 ， 所以 ， 又因为抛物线焦点在 轴上， 所以抛物线 的准线方程为 ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 4．（2020·上海市建平中学高二期末）已知抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合，则实数 的值为______. 【答案】3 【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标，再由题意，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ， 又抛物线 的焦点与双曲线 的左焦点重合， 所以 ，则 ； 故答案为： . 【点睛】本题主要考查由双曲线的焦点求参数，熟记双曲线和抛物线的焦点即可，属于基础题型. 5．（2020·上海交大附中）抛物线 的焦点坐标是_______． 【答案】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由 得 ，所以抛物线的焦点在 轴上，且 ，所以抛物线的焦点坐标为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 6．（2020·上海市市西中学高二期末）抛物线 上点 与点 距离的最小值为______． 【答案】 【分析】利用两点间距离公式，把最小值问题转化为二次函数最小值问题即可得到答案. 【详解】P到 的距离为 EMBED Equation.DSMT4 ，易知当 时，该距离最小为 . 故答案为： . 7．（2020·上海市市西中学高二期末）以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上，且经过点 的抛物线方程为______． 【答案】 或 . 【分析】对抛物线的焦点位置进行分类，设出抛物线的标准方程，将点 的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，进而可得出抛物线的标准方程. 【详解】若抛物线的焦点在 轴上，可设抛物线的标准方程为 ， 将点 的坐标代入抛物线的标准方程得 ，解得 ， 此时，抛物线的标准方程为 ； 若抛物线的焦点在 轴上，可设抛物线的标准方程为 ， 将点 的坐标代入抛物线的标准方程得 ，解得 . 此时，抛物线的标准方程为 . 综上所述，抛物线的标准方程为 或 . 故答案为： 或 . 8．（2020·上海闵行中学高二期末）抛物线 上的一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标为_________. 【答案】1 【分析】根据抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标. 【详解】抛物线 的准线方程为 ，由抛物线 上一点 到焦点的距离为2，且抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得点 的横坐标为： ， 故答案为：1. 9．（2019·上海市宜川中学高二期末）若过抛物线 的焦点，且倾斜角为 的直线交抛物线于 ， ，则 __________． 【答案】 【分析】先求直线AB的方程，再利用弦长公式求 . 【详解】由题得抛物线的焦点为 ， 所以直线AB的方程为 ，即 . 把 代入 得 ， 所以 = . 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（2020·上海中学高二期末）已知抛物线 ： ，过焦点 作直线 与抛物线 交于 、 两点，则 的取值范围是______. 【答案】 【分析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得 ，然后把 用 表示出来，结合表达式的特点求解范围. 【详解】由题意可得焦点 ，设 ，直线 ， 联立 得 ， ， ； 因为 ，所以 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、解答题 11．（2018·上海市复兴高级中学高二期末）动点 到直线 的距离比它到点 的距离大1． (1)求点 的轨迹 的方程； (2)过定点