作业05 双曲线的标准方程和性质-2021年高二数学暑假作业（沪教版）

作业05 双曲线的标准方程和性质 一、单选题 1．（2020·上海中学高二期末）双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则此双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线 垂直可求 ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知 ， 因为双曲线 的渐近线为 ，且一条渐近线与直线 垂直， 所以 ，即 ； 此时双曲线为 ， ,离心率为 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确 的关系式，或者 的值，侧重考查数学运算的核心素养. 2．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期末）动点 到点及点的距离之差为 ，则点 的轨迹是 A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 【答案】C 试题分析：根据题意可假设 ，，即，两边同时平方并化简整理得，再进行一次平方并化简整理得，即点在横轴上，但是，所以点只能是横轴的右侧的一部分，即一条射线，端点为．所以本题的正确选项为C． 考点：求动点的轨迹． 【易错点睛】在解答本题时，很容易直接利用双曲线的定义：到两定点的距离之差为定值的动点的轨迹，直接得出轨迹为双曲线的一支；但是当距离之差等于两定点的距离时，动点的轨迹不再是曲线，因为当动点与两定点不在一条直线上时，三点可围成三角形，根据三角形三边关系可知，两距离之差始终小与这个定值，也就是说三点式共线的，且是一条射线． 3．（2019·上海市宜川中学高二期末）设 是双曲线 上的动点，则 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用双曲线的定义分析解答得解. 【详解】由题得 . 由双曲线的定义可知 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值 . 故选A 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4．（2021·上海市西南位育中学高二期末）已知点 是双曲线 右支上一点， 、 分别为双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则 的值 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 的内切圆半径为 ，利用三角形的面积公式结合双曲线的定义可求得 的值. 【详解】设 的内切圆半径为 ，由双曲线的定义得 ， ， ， ， ， 因为 ，即 ，可得 . 故选：B 二、填空题 5．（2020·上海高二期末）双曲线 上一点A到点（5,0）的距离为15，则点A到点（−5,0）的距离为_________________. 【答案】7或23 【分析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果． 【详解】 双曲线 ， 是双曲线的两个焦点， 点 在双曲线上， ， 点 到点 的距离为 ，则点 到点 是 或 ，故答案为 或 . 【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值． 6．（2019·上海市建平中学高二期末）与椭圆 有两个相同的焦点,且经过点 的双曲线的标准方程是_____. 【答案】 【分析】先根据椭圆方程求出双曲线的焦点坐标,再根据双曲线的定义可求出实轴长,最后根据实轴长、虚轴长、焦距的关系,求出虚轴长,最后求出双曲线的方程. 【详解】椭圆 的焦点坐标为 ,设双曲线标准方程为 ,由题意可知双曲线的焦点坐标为 ,由双曲线定义可知： , 而 ,所以双曲线方程为： . 故答案为： 【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程,考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力. 7．（2019·上海市延安中学高二期末）已知点 和 ，动点 满足 ，则 的轨迹方程是_________. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出 点的轨迹为双曲线的一支，由此求得 点的轨迹方程. 【详解】由于 为定点，且 ，所以 点的轨迹为双曲线的右支.由 得 ，所以 点的轨迹方程为 . 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题. 8．（2020·上海市控江中学高二期末）焦点为 与 的等轴双曲线的方程为_____. 【答案】 【分析】设所求双曲线的方程为 ，根据该双曲线的焦点坐标求出 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在 轴上，可设所求双曲线的方程为 ， 则 ，解得 ，因此，所求等轴双曲线的方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题. 9．（2020·上海市第二中学高二期末）如果双曲线 右支上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点 到 轴的距离是_______________． 【答案】 【分析】由题意可知点 为双曲线的右顶点，由此可求得点 到 轴的距离. 【详解】在双曲线 中，